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1、平面弯曲杆件 （一）,一、截面的几何特性 二、弯曲概念 三、剪力和弯矩 四、剪力图、弯矩图 五、荷载、剪力和弯矩之间的关系,一、截面的几何特性,静矩,O,x,y,dA,x,y,C,xc,yc,形心,例如，扇形的形心计算如下,R,R,1、静矩和形心,组合图形的形心,10,10,60,40,A1,A2,10,10,60,40,A1,A2,x,y,x,y,面积划分为分割法和负面积法。,示例，图示L型图形,1、静矩和形心,惯性矩,O,x,y,dA,x,y,h,b,x,y,dy,y,x1,例如，矩形截面,极惯性矩,2、惯性矩、惯性积,惯性积,例如，矩形截面的极惯性矩,又如，圆形截面的惯性矩,(x,y),
2、(-x,y),若截面有一对称轴，则该截面对于该对称轴和另一与之垂直轴的惯性积为零,组合截面,h,b,x,y,d,例如，图示截面,2、惯性矩、惯性积,O,x,y,x,y,C,a,b,xC,yC,坐标转换,惯性矩,由于,h,b,x,x1,例如矩形截面,3、平行移轴公式,示例：T型截面。求形心轴惯性矩,150,30,150,30,A1,A2,1、求形心位置,y,z,yC,zC,zC1,45,zC2,45,2、求惯性矩,3、平行移轴公式,二、弯曲概念,平面弯曲,平面弯曲： 1、截面具有一个对称轴,矩形,T型,花篮型,2、荷载作用在对称面内,y,对称面,弯曲后梁轴线仍在对称面内。,弯曲 受力特点:作用于
3、杆件上的外力垂直于杆件的轴线变形特点:使原为直线的轴线变为曲线,工程应用,吊车,火车轴,车刀,单跨静定梁,支座反力和位移条件,B,A,简支梁,yA=0,yB=0,B,A,外伸梁,yA=0,yB=0,B,A,悬臂梁,yA=0,A=0,思路,弯曲内力,弯曲应力,弯曲变形,弯曲强度,弯曲刚度,截面的几何特性,三、剪力和弯矩,Q称为剪力，M称为弯矩。 剪力符号：使脱离体有顺时针方向的趋势为正。 弯矩符号：使脱离体的弯曲变形凹向上为正,+,-,+,-,一般情况下，须先计算梁的支座反力，在从待求内力截面出切开，取脱离体，利用平衡关系求解内力。,B,A,P,RB,RA,Q,M,P,RA,Q,M,RB,左上右
4、下,左下右上,左顺右逆,左逆右顺,用内力截面法求梁的剪力和弯矩。,a,Y=0,-Q+RA=0 Q=RA m1=0,M-RAa=0 M=RAa,1-1,示例：简支梁。求截面1-1的剪力和弯矩。 1)支反力 mA=0,RB6-20 2-40 4=0 RB=33.3kN Y=0,RA+RB-20-40=0 RA=26.7kN 2)截面内力 Y=0,-Q+26.7-20=0 Q1=6.7kN m1=0,M-26.73 +20 1=0 M1=60kNm,Q,M,20kN,40kN,2m,2m,2m,RA,RB,1m,20kN,26.7kN,P,a,a,Pa,C,A,B,示例：悬臂梁。求截面1-1、2-2
5、的剪力和弯矩。 1)截面1-1 m1=0,M1+Pa=0 M1=-Pa Y=0,-Q1-P=0 Q1=-P 2)截面2-2 Y=0 ,-Q2-P=0 Q2=-P m2=0,M2+Pa-Pa=0 M2=0,1,1,2,2,P,Q1,M1,P,Q2,M2,Pa,截面1-1： Y=0 Q1=4-24=-4kN m1=0 M1=44-242=0 截面2-2： Y=0 Q2=4kN m2=0 M2=-44=-16kNm,q=2kN/m,4m,4m,4m,q=2kN/m,P=4kN,RA=4kN,RB=8kN,RA=4kN,q=2kN/m,1,1,2,Q1,M1,2,P=4kN,M2,Q2,P=4kN,示
6、例2：外伸梁如右图，求j截面1-1、截面2-2和截面3-3的剪力和弯矩。,1、求支反力,2、求内力,3,3,M3,Q3,P=4kN,RB=8kN,截面3-3： Y=0 Q3=-8+4=-4kN m3=0 M3=-44=-16kNm,剪力:所求截面一侧所有力的代数和,弯矩:所求截面一侧所有力对所求截面形心力矩的代数和,四、剪力图、弯矩图,剪力方程、弯矩方程Q=Q(x)、M=M(x) 剪力图：正号剪力画在上侧 弯矩图：正号弯矩画在下侧,P,x,l,P,-,Q图,Pl,-,M图,Q(x),M(x),P,剪力方程： Q(x)=-P (0xl),示例1：悬臂梁受集中力,注意：弯矩图画在凸侧、受拉侧，该侧
7、配纵向受力钢筋。,弯矩方程： M(x)=-Px (0xl),示例2：悬臂梁受均布荷载,q,x,l,Q(x),M(x),剪力方程： Q(x)=-qx (0xl) 弯矩方程： M(x)=-qx2/2 (0xl),Q图,ql,-,M图,-,示例3：简支梁受均布荷载,作剪力图和弯矩图 支反力： RA=ql/2,RB=ql/2 剪力方程： Q(x)=ql/2-qx (0xl) 弯矩方程： M(x)=qxl/2-qx2/2 (0xl) 注意： 分布荷载为均布荷载的区段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线； 跨中剪力为零，弯矩达到极大。,q,l,x,RA,RB,Q(x),M(x),RA,Q图,ql/2,ql
8、/2,M图,ql2/8,支反力： RA=Pb/l,RB=Pa/l 剪力方程和弯矩方程 AC段： Q(x)=Pb/l (0xa) M(x)=Pbx/l (0xa) CB段： Q(x)=Pb/l-P (axl) M(x)=Pbx/l-P(x-a) (axl),a,P,l,x,RA,RB,Q(x),M(x),RA,b,Q(x),M(x),RA,P,示例4：简支梁受集中力,Q图,-,+,Pb/l,Pa/l,M图,Pab/l,支反力： RA=-m/l,RB=m/l 剪力方程和弯矩方程 AC段： Q(x)=-m/l (0xa) M(x)=-mx/l (0xa) CB段： Q(x)=-m/l (axl) M
9、(x)=-mx/l+m (axl),a,m,l,x,RA,RB,Q(x),M(x),RA,b,Q(x),M(x),RA,示例4：简支梁受集中力偶,Q图,-,-,m/l,M图,mb/l,ma/l,m,例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。,解：1. 求支座约束力,可利用平衡方程 对所求约束力进行校核。,2. 建立剪力方程和弯矩方程,AC段：,CB段：,3求控制截面内力，绘FS , M图,FS图： AC段内 剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值即可,CB段内 剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。,M图：
10、 AC段内 弯矩方程是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。,需判断顶点位置，该处弯矩取得极值。,五、荷载、剪力和弯矩之间的关系,荷载、剪力和弯矩之间的关系,B,A,q(x),Q,M,Q+dQ,M+dM,dx,剪力图上某点的切线斜率等于梁上相应点的荷载集度； 弯矩图上某点的切线斜率等于剪力图上相应点的剪力值。,dx,x,剪力图、弯矩图规律,1、q(x)=0,Q为常数，M为一次函数,+,-,Q0,Q0,q0,Q递增,Q递减,M下凹,M上凸,3、集中力P，Q突变，突变值为P，M转折,Q,M,P,P,4、集中力偶m， M突变，突变值为m， Q 不变,M,Q,m,m,简易法,求支
11、座反力 求控制截面的内力 利用荷载、剪力和弯矩之间的关系作图,2kN/m,3kN,示例4-1：悬臂梁,C,A,B,2m,2m,求支座反力,MC,RC,求控制截面的内力,3kN,MB,QB,Q,3kN,-,7kN,-,M,6kNm,16kNm,示例4-2：简支梁,B,A,q,C,a,2a,qa2,求支座反力,RA,RB,求控制截面的内力,C右截面,MC右,QC右,RB,MC左,QC左,RB,qa2,C左截面,Q(qa),1/3,5/3,-,+,5/3a,M(qa2),25/18,4/3,1/3,示例4-3：外伸梁,B,A,q,C,a,2a,qa,求支座反力,RA,RB,求控制截面的内力,B右截面,MB右,QB右,MB左,QB左,RB,C左截面,Q(qa),3/2,1/2,-,+,1/2a,M(qa2),1/8,1,qa,qa,1,已知：图中梁的约束力为,思考：试指出图示梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。,正确答案：,(a),图中梁的约束力为,正确答案：,(c),
