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1、1,近代量子力学疑难问题 专题讲座,张 永 德 中国科学技术大学近代物理系,2,第 二 讲 无限深方阱中粒子 动量波函数的争论,3,目 录 一，Pauli 和 Landau 的矛盾“量子力学的数学是错的”？！ 二，无限深方阱模型及基态动量波函数1）无限深方阱模型2）两种基态动量波函数表达式 三，矛盾分析与结论 四，设想实验的佐证 五，问题的根源 附录,4,一， Pauli 和 Landau 的矛盾 “量子力学的数学是错的”？ ！,最简单的势阱束缚态模型，一种近似数学模写：势能不可能真为无限大，也不会严格的阶跃。此模型的动量波函数先由Pauli，后由Landau等人给出了 不同的结果。此后，这个
2、模型动量波函数及其衍生问题先在国 外少数学者中有过讨论，接着被引进国内。近数年有过不大不 小的争论，并还导致严重误解：“中国数学家挑战物理学量子力学逻辑自相矛盾”“文汇报”1997年12月10日，头版重要通讯报导。 以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。,5,6,二，无限深方阱模型及基态动量波函数 1）无限深方阱模型 相应的一维Schrdinger方程，Schrdinger方程应当定义在整个 x 轴上。分为三个区域 ：第 I 、 III 区 V(x)=+。边界条件(x)0 (|x|a) ；求解坐标波函数只需对第 II 区进行。 有时这种边界条件被简单地写为(x)0 (|x|=a)。这时 对
3、阱外情况未作规定，提法含混。矛盾即源生于此处7：坐标波函数边条件这两种不同提法，不影响求 解阱内坐标波函数，但却影响阱内粒子动量波函数！,7,阱中粒子能级和波函数为将正弦波函数n(x)用复指数表示，并近似配以exp(-iEnt/h)仅就阱内说，阱中粒子波函数是两个反向传播的de Broglie行 波叠加而成的驻波，类似于两端固定的一段弦振动。但这种说法虽然形象却是近似的！ 因为这两个行波仅仅 存在于有限区间-a, a内，有限长度光波波列不会是严格单色波（5，也见4）。,8,2）两种基态动量波函数表达式坐标波函数边界条件设定的分歧 Landau 和Pauli 等人给出了不同结果。由此引发了混乱。
4、Pauli 等人求解1、2。求解基态粒子的动量波函数1(p) 时，直接采用前面n=1基态两个“单色波”的两个“动量”。表明：阱中粒子动量谱是两个（此式实际对应全实轴相向运 动的）单色de Broglie波叠加而成的驻波。,9,L.D.Landau 等人做法3、5：将上面定义在全实轴上的 基态坐标波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒 子的动量波函数1(p)：代入1(x)表达式，注意阱外1(x)为零，即得阱中粒子动量 概率是连续分布两种结果很不同！ 那个正确？！ 两个都对？ 两个都错？ 按几年来文献讨论情况，4 种观点全有表述，分歧明显、争 论热烈 6。,10,三，矛盾分析与结论7按QM基
5、本原理，波函数、动量算符及Schrdinger方程 都应当定义在整个（空间）实轴上，而不是只定义在（有限 空间的）势阱内。事实上，正确的边界条件应当是 (x)0(|x|a)； 而不是 (x)0(|x|=a)。如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符 可以“只”定义在势阱|x|a 内，这不仅会给QM基本原理解 释以及很多算符（比如，动量算符及相关的动能算符、轨道 角动量算符等）厄密性、完备性带来许多不必要的混乱和麻 烦，理论处理很烦琐；而且动量波函数的解有两种了结果！边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么 影响，因为阱内坐标波函数是定域解； 但对求解阱内粒子的 动量波函数却
6、有影响。,11,问题的关键是： 不象坐标波函数是定域的，动量波函数是非定域的！ 即阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱 内坐标波函数的形状，而且依赖于阱外 坐标波函数的形状。换句话说，它还取 决于对阱外坐标波函数的处理坐标 波函数边界条件的正确拟定。,12,Pauli 错误处理了阱外坐标波函数：由于并不影响阱内坐 标波函数求解，含糊的“两端点为零”边界条件被下意识地推 广为“周期零点”边界条件，得到了坐标波函数的周期解。 Pauli解正是此周期解的动量分布这等于将阱内坐标波函 数向全实轴作了周期性延拓。此周期解的阱外部分显然不符合 现在阱外要求，其动量分布当然也就不符合阱内现在问题。可证（见后面附
7、录）：当比值 很大（或n很大）向经典趋近时，Landau 解将逐渐演变为Pauli 解。这充分说明 Pauli 解是对大阱宽、高激发态时的近似解。显然，指数上的量nh/2a 也不是严格的物理动量（特别 当a 或n 较小时）。,13,四，设想实验的佐证一块无穷大并足够厚的 平板，取厚度方向为z轴，板 上沿y方向开一条无限长的缝， 沿x轴的缝宽为2a。电子束由 板的下方入射。分离掉电子 在y和z方向的自由运动，单 就电子在x方向运动而言， 便是一个（沿x方向）无限深方阱问题。在板上方放一接收 电子的探测屏，观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿x方向 的偏转，偏转大小将和电子在x方向的动量 px 数值有
8、关。由 此知：如a 值较小，必定是一个单缝衍射分布。 只当a值较大向宏观过渡时，分布才逐渐过渡到两条（平行y 轴的）细线。,14,五，问题的根源无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到位势 的突变和无穷高势垒假设。其实，物理学中许多常用的 数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其 小无内的点、其大无外的，等等，都只是一些人为抽 象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常 是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时 甚至还会惹出麻烦。 Henri Poincare 说：几何点其实是人的幻想。甚至 说：“几何学不是真实的，但是有用的。”8,15,按照他对几何学的深刻认识，我们也
9、可以说： V = 不是真实的，但是有用的。 从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势 垒V = 这件事看成是物理真实的了。对它过度的 执着干扰了我们对实际物理问题的认识，并且带来 许多不必要的困惑和烦恼。文小刚也说9：理论物理中的很多概念并不代表真实。所以，每当遇到由数学简单化、绝对化带来问 题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再 行考察。记住这点有时是很重要的。,16,附录 当 时，Landau结果趋近于Pauli结果 证：利用 -函数的一个表达式：由Landau结果出发(注意最后极限时 )：,17,参考文献 1 W. Pauli ，Handbuch der Physik, eds
10、. by H. Geiger and K. Scheel, Vol. 24/1, Springer, Berlin, 1933。 中译本 “Pauli物理学讲义”，第五卷：波动力学。洪铭熙等译，人民教育出版社，1983年。他于1956-1958年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲法。 2 L.N.Cooper,物理世界（上、下），杨基方等译，海洋出版社，1984。第184页， 3 .朗道，E.M.栗弗席茨，非相对论量子力学，俄文第一版为1947年。 4 W. Pauli ，“Pauli物理学讲义”，第五卷：波动力学。洪铭熙等译，人民教育出版社，1983年。第15页及注1。
11、5 Fermi 于1954年所写的量子力学讲稿，罗吉庭译，西安交大出版社，1984。 第60-61页。,18,6 国内自1983.6起，见大学物理、光子学报等杂志：一维无限深势阱内粒子的动量分布，两篇文章，1994，7；关于同一问题的不同解法； 编者的话； 谈谈量子力学中的动量算符； 也谈正则动量算符之争； 编者的话； 也谈一维无限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布，1998，7； 关于量子力学基础的一个质疑，光子学报，1997，9；也谈量子力学的基础，光子学报，1998，4；。 7 张永德，量子力学，科学出版社，2004。 8 Henri Poincare ，科学与假设，科学出版社，1989。第63、65页。 9 文小刚，量子多体理论，高教出版社，2005。第19页,19,谢谢！,
