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1、第2章 MATLAB矩阵及其运算 2.1 变量和数据操作 2.2 MATLAB矩阵 2.3 MATLAB运算 2.4 矩阵分析 2.5 矩阵的超越函数 2.6 字符串 2.7 结构数据和单元数据 2.8 稀疏矩阵,2.1 变量和数据操作,2.1.1 变量与赋值 1变量命名 在MATLAB 6.5中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。,2赋值语句 (1) 变量=表达式 (2) 表达式 其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。,例2-1 计算表达式的值，并显示计算结果。 在MATLAB命令窗口输
2、入命令： x=1+2i; y=3-sqrt(17); z=(cos(abs(x+y)-sin(78*pi/180)/(x+abs(y) 其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量，分别代表代表圆周率和虚数单位。 输出结果是： z = -0.3488 + 0.3286i,2.1.2 预定义变量,在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统本身定义的变量。例如，用pi表示圆周率的近似值，用i，j表示虚数单位。 预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。,2.1.3 内存变量的管理 1内存变量的删除与修改 MATLAB工作空间(Workspace)窗口专门用于内存变量的管理。在工
3、作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性。当选中某些变量后，再单击Delete按钮，就能删除这些变量。当选中某些变量后，再单击Open按钮，将进入变量编辑器。通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素，也可修改变量中的具体元素。,在命令窗口(Command Windor)中,clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。who命令只显示出驻留变量的名称，whos在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。,2内存变量文件 利用MAT-files文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用
4、变量长久地保留下来，扩展名是.mat。MAT文件的生成和装入由File中的save Workspace 和Import Data load选项来完成保存和装载。在命令窗中键入: Load cf 执行后,cf.mat中的变量被载入工作空间中. 其中，文件名cf不需带扩展名.mat，命令隐含一定对.mat文件进行操作。,?,常用格式为： save 文件名 变量名表 -append-ascii load 文件名 变量名表 -ascii,?,变量名表中的变量个数不限，只要内存或文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。-ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略该
5、选项时文件将以二进制格式处理。save命令中的-append选项控制将变量追加到MAT文件中。,2.1.4 MATLAB常用数学函数 MATLAB提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。 函数使用说明： (1) 三角函数以弧度为单位计算。 (2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCII码值。 (3) 用于取整的函数有fix、floor、ceil、round，要注意它们的区别。 (4) rem与mod函数的区别。rem(x,y)和mod(x,y)要求x,y必须为相同大小的实矩阵或为标量。
6、,2.1.5 数据的输出格式 MATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。 在一般情况下，MATLAB内部每一个数据元素都是用双精度数来表示和存储的。数据输出时用户可以用format命令设置或改变数据输出格式。format命令的格式为： format 格式符 其中格式符决定数据的输出格式,2.2 MATLAB矩阵,2.2.1 矩阵的建立 1直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。,2利用M文件建立矩阵 对
7、于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。,例2-2 利用M文件建立MYMAT矩阵。 (1) 启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵： (2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。 (3) 在MATLAB命令窗口中输入mymatrix，即运行该M文件，就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用。,3利用冒号表达式建立一个向量 冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3 其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。 在MATLAB中，还可以用linspace函数产
8、生行向量。其调用格式为： linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。 显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。,如 x=1:(10-1)/9:10x =1 2 3 4 5 6 7 8 9 104建立大矩阵 大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。,如 a=1,2,3;b=4,5,6; c=a,b c =1 2 3 4 5 6 d=a;b d =1 2 34 5 6, e=a b e =123456,2.2.2 矩阵的修改、提取与拆分 1矩阵元素修改与提取 通过下标修改矩阵的元素，例如 A(3,2)=200 采用
9、矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如3x3矩阵A A(3) %等价于A(3,1) ans = 9 A(3,2) %等价于A(6) ans =200 显然，序号(Index)与下标(Subscript )是一一对应的，以mn矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i,即整行乘列再加余列。其相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得。, B=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12; 13 14 15 16 B =1 5 9 132 6 10 1
10、43 7 11 154 8 12 16 B(3,4) ans =15 B(4-1)*4+3) ans =15 B(15) ans =15,2矩阵拆分 (1) 利用冒号表达式获得子矩阵 A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩阵第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第ii+m行内，并在第kk+m列中的所有元素。 此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的
11、末尾元素下标。如： A(1,end) ans =4,如 B(:,3) ans =9101112 B(2,:) ans =2 6 10 14,(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素 在MATLAB中，定义为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为X=。注意，X=与clear X不同，clear是将X从工作空间中删除X ，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。 如 B= B = B为0X0矩阵,2.2.3 特殊矩阵 1通用的特殊矩阵 常用的产生通用特殊矩阵的函数有： zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。 ones：产生全1矩阵(幺矩阵)全1矩阵。 eye：产生单位矩阵对角为1。 rand：产生01间均匀分布
12、的随机矩阵。 randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。,如 h=ones(2,3) h =1 1 11 1 1 g=eye(3) g =1 0 00 1 00 0 1,例2-3 分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵。 (1) 建立一个33零矩阵。 zeros(3) (2) 建立一个32零矩阵。 zeros(3,2) (3) 设A为23矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。 A=1 2 3;4 5 6; %产生一个23阶矩阵A zeros(size(A) %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵,例2-4 建立随机矩阵： (1) 在区间20,
13、50内均匀分布的5阶随机矩阵。 (2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。 命令如下： x=20+(50-20)*rand(5) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成mn的二维矩阵。,2用于专门学科的特殊矩阵 (1) 魔方矩阵 魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列上的元素和都相等及两条对角线上的元素和相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n*n共n的平方个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。,例2-5 将10
14、1125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。 M=100+magic(5),M=magic(5) M =17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9 sum(M(:,1) ans =65 sum(M(1,:) ans =65,s=0;for i=1:4;s=s+M(i,i);ends s =56 sv=0;Mv=M;for i=1:4;sv=sv+Mv(i,i);endsv sv =56,(2) 范得蒙矩阵 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的
15、向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩阵。,(3) 希尔伯特矩阵 在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。 使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。,例2-6 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。 命令如下： format rat %以有理形式输出 H=hilb(4) H=invhilb(4),
