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1、球的概念与性质,江北中学曹新田,观察现实生活中的各种球形,1、 掌握球的定义、表示方法及其有关概念; 2 、掌握球的截面性质; 3 、掌握球的大圆与小圆的概念; 4 、掌握地球的经度、纬度，理解实际应用; 5 、掌握球面上两点间的距离定义及求法.,学习目标:,圆的定义 平面内到一个定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。,圆只是一条曲线，而不是一个“ 圆面”。,圆面：平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的轨迹叫做圆面。,复习圆的有关概念,问题：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？,定义1：到一个定点的距离等于定长的点的集合是一个球面。定点球心，定长球半径,定义2：到一个定点的距离小于或等于定长的
2、点的集合是一个球体（简称“球”）。,一、球的概念:,半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体.,与定点(圆心)的距离等于或小于定长(半径) 的点的集合叫做球体，简称球.,球的旋转定义,球的集合定义,1.球的定义,2.球的有关概念,球体与球面的区别：,球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面.,球(即球体):球面所围成的几何体.,它包括球面和球面所包围的空间.,半圆的圆心叫做球心.,一个球用它的球心字母 来表示，例如 球O.,连结球心和球面上任意一点的 线段叫做球的半径（线段OP).,连结球面上两点并经过球心的 线段叫做球的直径（线段AB).,O,A,B,P
3、,画轴:经过点O画x轴y轴z轴,两轴之间夹角为均为120.,画大圆：以O为中心分 别按x轴、y轴,y轴、z轴,z轴、x轴画半径为R的圆的直观图（三个椭圆）.,成图：以点O为圆心画 一个圆与三个椭圆都相切.,二、球的画法,问题：一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？,把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，情况又怎样呢？,我们用一个平面去截一个球,是,什么图形呢？,圆面,三、球的截面,2.球心到截面的距离d与球的半径R和截面半径r有下面的关系:,1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面,用一个平面去截一个球,截面是圆面(黄色圆面).,截面的性质：,截面的定义：,大小圆的定义：,1.大圆：球
4、面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆.如O(浅蓝色圆面）.,o,2.小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆. 如O(黄色圆面）.,问题：在球中，球心到截面的距离 与截面圆的大小 有什么关系？,（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲 面叫球. （ ）,（2）在空间，到定点的距离等于定长 的所有点的集合叫球. （ ）,（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂 直于这个小圆所在平面. （ ）,判断正误：（对的打，错的打.）,四、球面距离,假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机,设想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢?航程大约是多少呢?,(3)这无数条弧长哪条最短?,(1)北京和纽约间的距离是一条线段的长吗?,(2
5、)经过球面上的这两点有多少条弧呢?,我们不妨先看一个例子！,不是,是一端圆弧的长.,无数条.,O,O1,A,B,m,O,O1,A,B,m,A,O,O1,A,B,m,球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度.,即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度.,P,Q,O,1.定义,四、球面距离,图中的弧 的长度就是AB 两点的球面距离.,.,.,.,B,A,O,关键：球心角(弧度),2.两点的球面距离公式,球面上两点距离不能通过解三角形直接求得，一般地是先求出大圆半径R和这两点在大圆上的劣弧所对的圆心角，再求出弧长.,飞机、轮船都是尽可能以大圆弧为
6、航线航行.,结合平面几何知识:在以两个定点为端点的弧中，半径越大弧长越小.(见右图）显然，在球面上北京、纽约间的最短距离是过这两点的大圆上劣弧的长.,P,Q,.理论根据,O,O1,A,B,m,由地理知识知：AOB为P点所在经线的经度.,某点的经度是经过这点的经线和地轴确定的半平面与0度经线(本初子午线) 和地轴确定的半平面所成二面角的度数.,地球的经线就是球面上从北极到南极的半个大圆.,1.地球的经度:,五、地球的经纬线,2.地球的纬度:,赤道是一个大圆， 其它的纬线都是小圆.,某点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数.,由地理知识知：AOP的度数为P点纬度.,纬线是与赤道所在平面平
7、行的截面圆，纬线上的度数叫做纬度，纬度是纬线上的点与球心连线和赤道所在平面所成的角的度数，即线面角的度数.若点P在北半球，就是北纬多少度；若点P在南半球，就是南纬多少度,经线上的度数叫做经度，经度的概念与二面角的度数有关.经度差是经线与地轴所确定平面的两个半平面的二面角大小，.若旋转是向东进行的，则点P的经度就是东经多少度，若旋转是向西进行的，则点P的经度就是西经多少度.,例2：我国首都靠近北纬60纬线。求北纬60纬线的长度约等于多少km（地球半径约为6 370km）.,轴截面,解：,如图，A是北纬60纬线上的一点，AK是它的半径，所以OKAK.设c是北纬60的纬线长，因为AOB=OAK=60
8、，所以,c =2AK,答：北纬60纬线长约等于2.0015104km.,C2.0015104（km）.,23.14263700.5,= 2OAcosOAK,由计算器算得,分析：求球面距离，关键求球心角，要求球心角，关键是求两点间的直线距离（弦长）.在纬圆中求弦长，在大圆中求球心角及球面距离.,例3:在北纬45圈上有A、B两点,沿该纬线圈上A、B两点间的劣弧长为 （R为地球半径），求A、B两点的球面距离.,（1）设地球的半径为R，在北纬30 纬线上有甲乙两地，它们的经度相差120 ，那么这两地的纬线的长为_.,填空题:,（2）设地球的半径为R，在北纬30 圈上有A、B 两点，它们的经度相差180 ，则A、B两点的球面距离是_.,填空题:,（4）设地球的半径为R，在北纬45 圈上有A、B 两点，它们的经度分别是东经140 与西经130 ，则A、B两点的球面距离是_.,填空题:,（3）设地球的半径为R，在北纬45 圈上有A、B 两点，它们的经度分别是东经110 与东经20 ，则A、B两点的球面距离是_.,球的概念，球截面的性质 球面上两点间的距离 地球经、纬度的含义 球的直观图作法,课堂小结,再见,
