中考数学压轴题十大类型之定值问题

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1、2017 中考数学压轴题十大类型之定值问题中考数学压轴题十大类型之定值问题 例例 1.（2011 天津）已知抛物线：，点 F(1，1) 1 C 2 1 1 1 2 yxx （）求抛物线的顶点坐标； 1 C （）若抛物线与 y 轴的交点为 A，连接 AF，并延长交抛物线于点 1 C 1 C B，求证：； 11 2 AFBF 抛物线上任意一点 P（） （） ，连接 PF，并延长 1 C PP xy，01 P x 交抛物线于点 Q（） ，试判断是否成立？请说明理由； 1 C QQ xy， 11 2 PFQF （）将抛物线作适当的平移，得抛物线： 1 C 2 C ，若时，恒成立，求 m 的最大值 2

2、2 1 () 2 yxh2xm 2 yx 2.（2009 湖南株洲）如图，已知ABC 为直角三角形， ACB=90，AC=BC，点 A、C 在x轴上，点 B 坐标为（3，m） （0m ） ， 线段 AB 与y轴相交于点 D，以 P（1，0）为顶点的抛物线过点 B、D （1）求点 A 的坐标（用m表示） ； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的 一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连 接BQ并延长交AC于点F，试证明： ()FC ACEC为定值 3.（2008 山东济南）已知：抛物线 2 yaxbxc(a0)，顶点 C (1，3)， 与 x 轴交于 A、B 两点，A（

3、-1，0） （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点 E，依次连接A、D、B、E，点P 为线段AB 上一个动点（P 与A、B 两点不重合） ， 过点P 作PMAE 于M，PNDB 于N，请判断 PMPN BEAD 是否为定值? 若是， 请求出此定值；若不是，请说明理由 ； （3）在（2）的条件下，若点 S 是线段 EP 上一点，过点 S 作 FGEP，FG 分别与边 AE、BE 相交于点 F、G（F 与 A、E 不重合，G 与 E、B 不重合） ， 请判断 PAEF PBEG 是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 4.（2

4、011 湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研 究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于 2( 0)yaxa 平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答OAB 以下问题： （1）若测得（如图 1） ，求的值；2 2OAOBa （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图 2 所示位置时，过O 作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横BBFxF1OF BA 坐标； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点O 、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标AB 5.（2009 湖北武汉）如图，抛物线 2 4y

5、axbxa经过 、两点，与x轴交于另一点 B10A ，04C， （1）求抛物线的解析式； （2）已知点在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称1D mm， 的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接 BD，点 P 为抛物线上一点，且，45DBP 求点 P 的坐标 来源:学科网 ZXXK 测试提高测试提高 1.（2009 湖南湘西）在直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 yxbxc 与 x 轴交于两点 A、B，与 y 轴交于点 C，其中 A 在 B 的左侧，B 的坐标是 （3，0） 将直线ykx沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过点 B、C （1） 求 k 的值； （2） 求直

6、线 BC 和抛物线的解析式； （3） 求ABC 的面积； （4） 设抛物线顶点为 D，点 P 在抛物 线的对称轴上，且 APD=ACB，求点 P 的坐标 B -4 -2 -1 4 3 21-4-3 -2 -1 43 2 1 0 y x -3 【参考答案参考答案】 1. 解：（I）y1=x2-x+1=（x-1）2+， 1 2 1 2 1 2 抛物线 C1的顶点坐标为（1，） ； 1 2 （II）根据题意得：点 A（0，1） ， F（1，1） ， ABx 轴，得 AF=BF=1， ； 11 2 AFBF 成立理由： 11 2 PFQF 如图，过点 P（xp，yp）作 PMAB 于点 M， 则 FM

7、=1-xp，PM=1-yp， （0xp1） ， RtPMF 中，由勾股定理， 得 PF2=FM2+PM2=（1-xp）2+（1-yp）2， 又点 P（xp，yp）在抛物线 C1上， 得 yp=（xp-1）2+，即（xp-1）2=2yp-1， 1 2 1 2 PF2=2yp-1+（1-yp）2=yp2，即 PF=yp， 过点 Q（xQ，yQ）作 QNAB，与 AB 的延长线交于点 N， 同理可得：QF=yQ， PMF=QNF=90，MFP=NFQ， PMFQNF， ，这里 PM=1-yp=1-PF，QN=yQ-1=QF-1， PFPM QFQN ，即； 1 1 PFPF QFQF 11 2 PF

8、QF （III）令 y3=x， 设其图象与抛物线 C2交点的横坐标为 x0，x0，且 x0x0， 抛物线 C2可以看作是抛物线 y=x2左右平移得到的， 1 2 观察图象，随着抛物线 C2向右下不断平移，x0，x0的值不断增大， 当满足 2xm，y2x 恒成立时，m 的最大值在 x0处取得 可得：当 x0=2 时，所对应的 x0即为 m 的最大值 于是，将 x0=2 代入（x-h）2=x，有（2-h）2=2， 1 2 1 2 解得：h=4 或 h=0（舍去） ， y2=（x-4）2 1 2 此时，由 y2=y3，得（x-4）2=x， 1 2 解得：x0=2，x0=8， m 的最大值为 8 2.

9、 解：（1）由可知，又ABC 为等腰直角三角形，(3,)Bm3OC BCm ，所以点 A 的坐标是（）. ACBCm3OAm3,0m （2） 45ODAOAD ，则点的坐标是（）.3ODOAmD0,3m 又抛物线顶点为，且过点、，(1,0)PBD 所以可设抛物线的解析式为：，得： 2 (1)ya x 解得 2 2 (3 1) (0 1)3 am am 1 4 a m 抛物线的解析式为 2 21yxx （3）过点作于点，过点作于点，QQMACMQQNBCN 设点的坐标是，则，.Q 2 ( ,21)x xx 2 (1)QMCNx3MCQNx /QMCE PQMPEC ，即，得 QMPM ECPC

10、2 (1)1 2 xx EC 2(1)ECx /QNFC BQNBFC ，即，得 QNBN FCBC 2 34(1) 4 xx FC 4 1 FC x 又4AC 444 ()42(1)(22)2(1)8 111 FC ACECxxx xxx 即为定值 8. ()FC ACEC 3. 解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x-1）2-3（a0） 将 A（-1，0）代入：0=a（-1-1）2-3，解得 3 4 a 所以，抛物线的解析式为， 23 13 4 yx 即 2 339 424 yxx （2）是定值，1 PMPN BEAD AB 为直径，AEB=90， PMAE，PMBE， APMABE，所

11、以 PMAP BEAB 同理： PNPB ADAB +：1 PMPNAPPB BEADABAB （3）直线 EC 为抛物线对称轴， EC 垂直平分 AB，EA=EB， AEB=90，AEB 为等腰直角三角形， EAB=EBA=45 如图，过点 P 作 PHBE 与 H，由已知及作法可知，四边形 PHEM 是矩形 PH=ME 且 PHME 在APM 和PBH 中，AMP=PBH=90，EAB=BPH=45， PH=BH，且APMPBH， PAPM PBBH PAPMPM PBPHME 在MEP 和EGF 中，PEFG， FGE+SEG=90， MEP+SEG=90， FGE=MEP， PME=F

12、EG=90， MEPEGF， PMEF MEEG 由、知： PAEF PBEG 4. 解：（1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中AByCCAB 点， ，2 2OAOB90AOB ，(，) 2ACOCBCB22 将(，)代入抛物线得，. B22 2( 0)yaxa 1 2 a （2）解法一：一：过点作轴于点，AAExE 点的横坐标为 ， (1，)， B1B 1 2 . 又 ， 1 2 BF 90AOB 易知，又，AOEOBF 90AEOOFB ， AEOOFB 1 2 1 2 AEOF OEBF 2AEOE 设点（，） （） ，则，Am 2 1 2 m0m OEm 2 1 2 AEm

13、 2 1 2 2 mm ，即点的横坐标为. 4m A4 解法二：二：过点作轴于点，AAExE 点的横坐标为 ， (1，)， B1B 1 2 1 tan2 1 2 OF OBF BF ，易知，90AOBAOEOBF ， tantan2 AE AOEOBF OE 2AEOE 设点（-，） （） ，则，Am 2 1 2 m0m OEm 2 1 2 AEm 2 1 2 2 mm ，即点的横坐标为. 4m A4 解法三：三：过点作轴于点，点的横坐标为 ，AAExEB1 (1，)， B 1 2 设（-，） （） ，则Am 2 1 2 m0m ， 222 15 1( ) 24 OB 224 1 4 OAmm

14、 2222 11 (1)() 22 ABmm ，90AOB 222 ABOAOB ， 222222 1111 (1)()(1)() 2222 mmmm 解得：，即点的横坐标为. 4m A4 （3）解法一：一：设（，） （） ，（，） （） ，Am 2 1 2 m0m Bn 2 1 2 n0n 设直线的解析式为：， 则，ABykxb 2 2 1 (1) 2 1 (2) 2 mkbm nkbn 得，来源:学。科。(1)(2)nm 22 11 ()()() 22 mn bm nmnmn mn ，又易知， 1 2 bmn AEOOFB ， AEOE OFBF 2 2 0.5 0.5 mm nn 4mn .由此可知不论为何值，直线恒过点（，） 1 42 2 b kAB02 解法二：二：设（，） （） ，（，） （） ，Am 2 1 2 m0m Bn 2 1 2 n0n 直线与轴的交点为，AByC 根