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1、选修选修 44 坐标系与参数方程坐标系与参数方程1极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，叫做_，从 O 点引一条射线 Ox，叫做_，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的_，记为 ，以极轴 Ox为始边，射线 OM 为终边的角叫做点 M 的极角，记为 .有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记作 M(，)(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设 M 是平面内任意一点，它的直
2、角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为 x_，y_.另一种关系为 2_，tan _.2简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程 (R)表示过极点且与极轴成 角的直线；cos a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；sin b 表示过且平行于极轴的直线；(b，2)sin()1sin(1)表示过(1，1)且与极轴成 角的直线方程(2)圆的极坐标方程2rcos 表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆；2rsin 表示圆心在，半径为|r|的圆；(r，2)r 表示圆心在极点，半径为|r|的圆3曲线的参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变量 t
3、 的函数Error!Error!并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的_，其中变量 t 称为_4一些常见曲线的参数方程(1)过点 P0(x0，y0)，且倾斜角为 的直线的参数方程为_(t 为参数)(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为_( 为参数)(3)椭圆方程1(ab0)的参数方程为_( 为参数)x2a2y2b2(4)抛物线方程 y22px(p0)的参数方程为_(t 为参数)1在极坐标系中，直线 sin( )2 被圆 4 截得的弦长为_42极坐标方程 sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程为_3已知点 P(3，m)在以点
4、F 为焦点的抛物线Error!Error!(t 为参数)上，则 PF_.4直线Error!Error!(t 为参数)的倾斜角为_5已知曲线 C 的参数方程是Error!Error!(t 为参数)则点 M1(0,1)，M2(5,4)在曲线 C 上的是_题型一 极坐标与直角坐标的互化例 1 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos( )1，M，N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点3(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M、N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只
5、需把公式 xcos 及 ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如 cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验在极坐标系中，已知圆 2cos 与直线 3cos 4sin a0 相切，求实数 a 的值题型二 参数方程与普通方程的互化例 2 已知两曲线参数方程分别为Error!Error!(0)和Error!Error!(tR)，求它们的交点坐标思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等对
6、于与角 有关的参数方程，经常用到的公式有 sin2cos21,1tan2等1cos2 (2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的 x，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性将下列参数方程化为普通方程(1)Error!Error!(t 为参数)；(2)Error!Error!( 为参数)题型三 极坐标、参数方程的综合应用例 3 在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程是 4cos ，直线 l 的参数方程是Error!Error!(t 为参数)，M，N 分别为曲线 C、直线 l 上的动点，求 M
7、N 的最小值思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用(2013辽宁)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 4sin ，cos2.(4)2(1)求 C1与 C2交点的极坐标；(2)设 P 为 C1的圆心，Q 为 C1与 C2交点连线的中点已知直线 PQ 的参数方程为Error!Error!(tR 为参数)，求 a，b 的值参数的几何意义不明致误典例：(10 分)已知直线 l 的参数方程为Error!Error!(t
8、 为参数)，若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程为2cos( )4(1)求直线 l 的倾斜角；(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 AB.易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为Error!Error!2 分根据直线参数方程的意义，直线 l 经过点(0，)，22倾斜角为 60.4 分(2)直线 l 的直角坐标方程为 yx，6 分3222cos( )的直角坐标方程为(x)2(y)21，8 分42222所以圆心(，)到直线 l 的距离 d.222264所
9、以 AB.10 分102温馨提醒 对于直线的参数方程Error!Error!(t 为参数)来说，要注意 t 是参数，而 则是直线的倾斜角与此类似，椭圆参数方程Error!Error!的参数 有特别的几何意义，它表示离心角方法与技巧1曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式 cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以 等2参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2sin21,1tan2.1cos23利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解
10、决这类问题的好方法失误与防范1极径 是一个距离，所以 0，但有时 可以小于零极角 规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与 P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定0,02，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点2在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的 x，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性A 组 专项基础训练1(2013江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!Error!(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为Error!Error!( 为参数)试求直线 l 和曲线 C 的普通方程
11、，并求出它们的公共点的坐标2已知曲线 C 的参数方程为Error!Error!0,2)，曲线 D 的极坐标方程为 sin( ).42(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程；(2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点？试说明理由3(2013福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为(， )，直线 l 的极坐标方程为 cos( )a，且点 A 在直线244l 上(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为Error!Error!( 为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系4在极坐标系中，P 是曲线 12si
12、n 上的动点，Q 是曲线 12cos上的动点，试(6)求 PQ 的最大值5在极坐标系中，已知三点 M、N(2,0)、P.(2，3)(2 3，6)(1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上6在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!Error!后，曲线 C：x2y236 变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标B 组 专项能力提升1在极坐标系中，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin( ).422(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标2已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为
13、2，22cos( )2.24(1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程3(2013课标全国)已知曲线 C1的参数方程为Error!Error!(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin .(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标(0,02)4(2012辽宁)在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x2y24，圆 C2：(x2)2y24.(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1，C2的极坐标方程，并求出圆 C1，C2的交点坐
14、标(用极坐标表示)；(2)求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程答案答案要点梳理1(1)极点 极轴 极径(2)cos sin x2y2 yx3参数方程 参数4(1)Error!Error! (2)Error!Error!(3)Error!Error! (4)Error!Error!夯基释疑14 2.x2y22xy0 3.4 4.50 5.M13题型分类深度剖析例 1 解 (1)由 cos( )13得 ( cos sin )1.1232从而 C 的直角坐标方程为 xy1，即 xy2.12323当 0 时，2，所以 M(2,0)当 时，所以 N(， )22 332 332(2)M 点的直角坐标为(2,0)N 点的直角坐标为(0，)2 33所以 P 点的直角坐标为(1，)33则 P 点的极坐标为(， )，2 336所以直线 OP 的极坐标方程为 (R)6跟踪训练 1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为 x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为 3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为 1，即有1，解得 a8 或 a2.|3 1
