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1、 上海交通大学上海交通大学 概率论与数理统计试卷 2004-01姓名姓名: 班级班级: 学号学号: 得分得分: 一判断题一判断题（10 分，每题 2 分）1. . 在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件 ( )0)(APA2连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定 ( )(xf)(xF3若随机变量与独立，且都服从的 (0，1) 分布，则 ( ) XY1 . 0pYX 4设为离散型随机变量, 且存在正数k使得，则的数学期X0)( kXPX望未必存在( )(XE5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二选择题二选择题（
2、15 分，每题 3 分）1. 设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取) 10( ppn得 次成功的概率为 . . )1 (nrr(a) ； (b) ；rnrr nppC )1 (1 1rnrr nppC)1 (c) ； (d) . .111 1)1 ( rnrr nppCrnrpp)1 (2. . 离散型随机变量的分布函数为，则 . . X)(xF)(kxXP() ； () ； )(1kkxXxP)()(11kkxFxF() ； () . .)(11kkxXxP)()(1kkxFxF3. 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函X)2003,(max XY 数 . . () 是连续
3、函数； () 恰好有一个间断点； () 是阶梯函数； () 至少有两个间断点. .4. . 设随机变量的方差相关系数则),(YX, 1)(,4)(YDXD,6 . 0XY方差 . . )23(YXD() 40； () 34； () 25.6； () 17.6 5. . 设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结),(21nXXX)2, 1(2NX论中正确的是 . . () ； () ；)(/21ntnX )1,() 1(4112nFXnii () ； () . .)1,0(/21NnX )() 1(41212nXnii 二二. . 填空题填空题（28 分，每题 4 分）1. 一批电子元件共有 1
4、00 个, 次品率为 0.05. . 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为 2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数)(xfXeY3为 )(yfY3. . 设为总体中抽取的样本()的均值, 则X)4,3( NX4321,XXXX . . )51(XP4. 设二维随机变量的联合密度函数为 ),(YX他其,0; 10, 1),(xxyyxf则条件密度函数为,当 时 , )(xyfXY5. . 设,则随机变量服从的分布为 ( 需写出自由度 )(mtX2XY 6. . 设某种保险丝熔化时间（单位：秒） ，取的样本，得),(2NX16n样本均值和方差分别为，则的置
5、信度为 95%的单侧36. 0,152SX置信区间上限为 7. . 设的分布律为X1 2 3XP2)1 (22)1 (已知一个样本值，则参数的极大似然估计值)1,2, 1(),(321xxx为 三三. . 计算题计算题（40 分，每题 8 分） 1. 已知一批产品中 96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是 0.02；一次品被误认为是合格品的概率是 0.05求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2设随机变量与相互独立，分别服从参数为的指数XYXY)(,分布，试求的密度函数. . YXZ23)(zfZ3某商店出售某种贵重商品. . 根据经验，该商品每周销售量服从参
6、数为 1的泊松分布. . 假定各周的销售量是相互独立的. . 用中心极限定理计算该商店一年内（52 周）售出该商品件数在 50 件到 70 件之间的概率. . 4. 总体，为总体的一个样本. . ),(2NX),(21nXXXX求常数 k , 使为 的无偏估计量. . niiXXk15 （1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(2NX（单位：kg）. . 已知 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中8随机抽取 10 个样品，测得样本均值 kg. . 问这批特种金属丝的2 .575x平均折断力可否认为是 570 kg ？ （）%5（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布
7、. 某日抽取)048. 0,(2N5 个样品，测得其纤度为: : 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验. . %10四四. .证明题证明题（7 分）设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. . 试证明随机ZYX,), 1(pB变量与相互独立. .YX Z附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t 分布数值表26103. 0)28. 0(488. 9)4(2 05. 01315. 2)15(025. 0t975. 0)96. 1 (711. 0)4(2 95. 07531. 1)15(05. 0t9772. 0)0 .
8、 2(071.11)5(2 05. 01199. 2)16(025. 0t9938. 0)5 . 2(145. 1)5(2 95. 07459. 1)16(05. 0t概概 率率 统统 计计 试试 卷卷 参参 考考 答答 案案一. 判断题（10 分，每题 2 分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15 分，每题 3 分） （） （） （） （） （）. 三. 填空题（28 分，每题 4 分）1.1/22 ； 2. ； 3.0.9772 ； 000)3/ln()(1yyyfyfy Y4. 当时；10 x 他其0)2/(1)(xyxxxyfXY5. 6. 上限为 15.263 . 7. 5
9、/ 6 .), 1(mF四. 计算题（40 分，每题 8 分）1. 被查后认为是合格品的事件， 抽查的产品为合格品的事件. (2 分)AB， (4 分)9428. 005. 004. 098. 096. 0)()()()()(BAPBPBAPBPAP(2 分).998. 09428. 0/9408. 0)(/ )()()(APBAPBPABP2. (1 分) 其他00)(xexfxX其他00)(yeyfyY时，从而 ； (1 分)0z0)(zFZ0)(zfZ时， (2 分)0zdxxzfxfzfYXZ2/ )3()()(21(2 分)(232/3/3/02/ )( 21zzzxzxeedxe
10、所以 0,00),(23)(2/3/zzeezfzzZ (2 分) 0,00),(32)(3/2/zzeezfzzZ 3. 设 为第 i 周的销售量, (1 分)iX52,2, 1iiX)1( P则一年的销售量为 ，, . (2 分) 521iiXY52)(YE52)(YD由独立同分布的中心极限定理，所求概率为(4 分)1 522521852185252522)7050( YPYP. (1 分)6041. 016103. 09938. 01)28. 0()50. 2(4. 注意到 niiXXnXXnXX) 1(121)2(1)(,0)(2分nnXXDXXEii)1 (1, 02分 nnNXXi
11、dzennzXXEnnzi2212121|)(| dzennznnz221201212 )3 (122分 nn niiniiXXEkXXkE11|n nkn12 2与5. (1) 要检验的假设为 (1 分)570:,570:10HH检验用的统计量 ， )1 ,0(/0NnXU拒绝域为 . (2 分)96. 1) 1(025. 02znzU，落在拒绝域内，96. 106. 21065. 010/85702 .5750U故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为 570 kg . 0H , 落在拒绝域外，96. 1632. 0102 . 010/92 .5695710U故接受原假设，即可以认为平均折断力为 571 kg . (1 分)0H(2) 要检验的假设为 (1 分)22 122 0048. 0:,048. 0:HH 22 122 079. 0:,79. 0:HH检验用的统计量 ， ) 1()(2 2 02512 nXXii 拒绝域为 或488. 9)4() 1(2 05. 022n(2 分)711. 0)4() 1(2 95. 02 122n41. 1x49. 1x, 落在拒绝域内，488. 9739.150023. 0/0362. 02
