数字控制器的直接设计方法之二

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1、第六章 数字控制器的直接设计方法之二,杨根科 上海交通大学自动化系 2007年3月,内容提要,概述 参数优化的低阶控制算法 最少拍随动系统的设计 最少拍无波纹随动系统的设计 惯性因子法 非最少的有限拍控制 大林算法 小结,最少拍随动系统的设计,最少拍控制 要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且其闭环脉冲传递函数式 其中，N是可能情况下的最小正整数，即闭环脉冲响应(z)在N个周期后变为0 实质上是时间最优控制，最少拍控制系统也称为最小调整时间系统或最快响应系统,最少拍随动系统的设计（2）,对最少拍控制系统设计的具体要求 对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样

2、点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差 在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的采样周期数最少 数字控制器必须在物理上可以实现 闭环系统必须是稳定的,最少拍随动系统的设计（3）,最少拍控制系统的设计步骤 根据控制系统的 性能要求和其它约束条件，确定所需要的闭环脉冲传递函数(z) 求广义对象的脉冲传递函数G(z) (Gp(z) ) 确定数字控制器的脉冲传递函数D(z) (Gc) 根据D(z) (Gc)求取控制算法的递推计算公式,最少拍随动系统的设计（4）,最少拍控制系统的设计(教材),最少拍随动系统的设计（5）, 系统的闭环传递函数为 误差脉冲传递函数为 因此最少拍系统

3、的数字控制器为 对于典型输入： ，其z变换为： 其中B(z)为不含1-z-1因子的z-1多项式；q =1，输入为单位阶跃输入函数；q =2，输入为单位速度输入函数；q =3，输入为单位加速度输入函数,最少拍随动系统的设计（6）, 根据Z变换的终值定理，求系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件)，即： 因此： 这里 则有：,最少拍随动系统的设计（7）, 根据最少拍控制，确定最少拍控值的闭环脉冲传递函数(z) （快速性约束条件） 根据 可知，(z)中z-1的最高次幂为N = p + q，故系统在N拍可以达到稳态 当 p = 0时，系统可以在最少 q 拍达到稳态 上述两点可得最少拍控制

4、器选(z) 为： 最少拍控制器Gc(z)为：,最少拍随动系统的设计（8）, 典型输入下的最少拍控制系统分析 单位阶跃输入（q =1） ，其Z变换为 ，系统闭环传函为 误差函数 上式说明只在1拍内有误差 用长除法： 因此系统只需1拍就可以达到稳态,最少拍随动系统的设计（9）, 单位速度输入（q = 2） ，其Z变换为 ，系统闭环传函为 误差函数为： 上式说明只在2拍内有误差 用长除法有： 因此系统只需2拍就可以达到稳态,最少拍随动系统的设计（10）, 单位加速度输入（q =3） ，其Z变换为 ，系统闭环传函为 误差函数为 上式说明只在3拍内有误差 用长除法 因此系统只需3拍就可以达到稳态,最少拍

5、随动系统的设计（11）, 最少拍控制器的可实现性 所谓控制器的可实现性，是指在控制算法中，不允许出现未来时刻的偏差值，即要求数字控制器Gc(z)中不能有 z 的正幂次项 如果广义对象的脉冲传递函数为 ，则由于广义对象中包含零阶保持器，它是滞后的，因此有： 设数字控制器D(z)为 ，则要求： 其含义是：要产生k时刻的控制量u(k)，最多只能利用直到k时刻的误差e(k)、e(k-1)、.以及过去的控制量u(k-1)、u(k-2).,最少拍随动系统的设计（11）, 最少拍控制器的可实现性 Gc(z), or D(z)= (b0+b1z-1+b2z-2+)/(1+a1z-1+a2z-2+),最少拍随动

6、系统的设计（12）, 系统的闭环脉冲传递函数 则 因为有： ，则： 上式确定了GC(z) 可实现时(z)应满足的条件：若Gp(z)的分母比分子高 N 阶，则确定(z)时必须至少分母比分子高 N 阶,最少拍随动系统的设计（13）, 最少拍控制器的稳定性 在最少拍控制中，闭环传函 ，其全部极点都在 z = 0处，因此系统输出值在采样时刻的稳定性可以得到保证。但系统在采样时刻的输出稳定并不能保证联系物理过程的稳定。如果控制器D(z)选择不当，控制量u就可能时发散的。系统在采样时刻之间的输出值以振荡形式发散，则实际连续过程是不稳定的 在最少拍系统设计中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保证控制

7、变量收敛，才能使闭环系统在物理上真实稳定,最少拍随动系统的设计（14）, 最少拍设计 是针对Gp(z)稳定无滞后设计的，对一般系统有如下改进办法： 若Gp(z)有u个零点b1, ,bu在单位圆上或圆外，为了保证控制变量收敛，必须选择(z)含有相同的零点，即： 这样，根据 选取F(z)时，就不能简单的令 ，而应该根据中(z)的幂次来确定F(z)的次数,最少拍随动系统的设计（14）,注意：不能采取Gc(z)和Gp(z)零极点对消方式，而从理论上得到稳定的闭环系统，其原因是：当参数漂移时，零极点对消不能准确实现，系统将出现不稳定的极点，因此应注意在控制器中不应出现与对象不稳定极点相消的极点. 即在

8、e(z)的零点中包含Gp(z)的不稳定极点 下面观察当零极点不能准确抵消时会发生什么现象.,最少拍随动系统的设计（14）,例子. 设对象模型为 单位元外极点z=1.2,现在设计一个对阶跃输入为最小拍的控制器 则控制器为 当输入为单位阶跃时, 相应的控制量的z变换为,最少拍随动系统的设计（14）,但是假如实际对象的传递函数不是, 而是 那么在上述最小拍控制器下,闭环传递函数为 当输入为单位阶跃时, 闭环系统不稳定!,最少拍随动系统的设计（14）, 若Gp(z) 中含有纯滞后环节，则可以直接(z)中增加滞后时间大于等于Gp(z) 纯滞后时间的纯滞后环节,最少拍随动系统的设计（15）, 一般说来，若

9、被控对象有 l 个采样周期的纯滞后，并有 u 个在单位圆上或圆外的零点 bi ，v 个在单位圆上或圆外的极点 aj ，即 式中Gp(z)表示不含单位圆上及圆外零极点部分 则选择系统闭环传函必须满足如下约束条件： e (z)零点必须包括Gp(z)的单位圆上或圆外的极点 (z)的零点包括Gp(z)的单位圆上或圆外的零点 (z)中增加滞后时间大于等于Gp(z) 纯滞后时间的纯滞后环节,最少拍随动系统的设计（16）, 因此 其中 的项数应按 ， 的原则选取，以保证(z)有z-1的最低幂次。而且，如果aj中有k个在 z1处，则e (z)中(1- z-1)的总幂次只需取为max（q，k）,最少拍随动系统的

10、设计（16）, 补充例子, 上述闭环传递函数应该如下设计 具体地, q=1, F=1 控制器的传递函数为,最少拍随动系统的设计（16）,当传递函数是 上述闭环传递函数 阶跃响应为,最少拍随动系统的设计（17）,最少拍控制器的局限性 最少拍控制器对典型输入的适应性差 最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入 设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，甚至引起大的超调和静差 例如，按单位速度输入来设计(z)： 比较三种不同输入的响应：,最少拍随动系统的设计（18）, 对单位阶跃输入 ，Z变换为 其输出： 在各采样时刻的输出值为0，2，1，1，即系统在 1拍后出现100%超调，2拍后稳定，并达到设定

11、值,最少拍随动系统的设计（19）, 对单位速度输入 ，Z变换为 其输出： 在各采样时刻的输出值为0，0，2T，3T，即系统在2拍后就能准确跟踪速度输入,最少拍随动系统的设计（20）, 对单位加速度输入 ，Z变换为 其输出： 在各采样时刻的输出值为0,0,1, 3.5, 7,11.5，系统在2拍后出现稳定的静差ei=ri-ci=1, ( cy ),最少拍随动系统的设计（21）, 最少拍控制器的适应性特点： 针对某典型输入R (z)设计得到的最少拍(z)， 用于次数较低的R(z)，系统将出现大超调，但能稳定无静差 用于次数较高的R(z)，系统将有稳定的静差 结论：一种典型的最少拍(z)只适用于该类

12、型的输入,最少拍随动系统的设计（22）, 最少拍控制器对参数变化过于敏感 按最少拍控制设计的闭环系统只有多重极点 z = 0，从理论上可以证明，这一多重极点对系统参数变化的灵敏度可达无穷，因此如果系统参数发生变化，将使实际系统控制严重偏离期望状态 例如，对一阶对象 ，选择单位速度输入来设计(z)： ，由此得到数字控制器为：,最少拍随动系统的设计（23）, 若被控对象的时间常数发生变化，如对象的传函变为 ，则系统的闭环传函为 在单位速度输入时其输出为 各采样时刻的输出值为0，0，2.4，2.4，4.44，显然与期望值0，1，2，3，相差甚远,最少拍随动系统的设计（24）, 控制作用易超出范围 在

13、最少拍控制设计中，对控制量未作限制，因此，所得到的结果应该是在控制能量不受限制时系统输出稳定地跟踪输入所需要的最少拍过程。从理论上讲，由于通过设计已经给出了达到稳态所需的最少拍，如果将采样周期取得充分小，便可使系统调整时间任意短。这一结论是不实际的，因为当采样频率加大时，被控对象传函中的常数系数将会减小 例如，对一阶惯性环节 ，式中 ，采样周期 T 的减小将引起 增大，与此同时，控制量 将随着 的减小而增大。由于执行机构的饱和特性，控制量将被限制在最大值内。这样，按最少拍设计的控制量将不能实现,最少拍随动系统的设计（25）, 在采样点之间存在波纹 最少拍控制只能保证在采样点上的稳态误差为零，在

14、许多情况下，系统在采样点之间的输出出现波纹，这不但使实际控制不能达到预期目的，而且增加了执行机构的功率损耗和机械磨损 例如，对被控对象 经采样和零阶保持后(T=1)，其广义脉冲传函为,最少拍随动系统的设计（26）, 针对单位速度输入设计最少拍控制器，选择 因此,最少拍随动系统的设计（27）,最少拍无波纹随动系统的设计,最少拍无波纹系统的设计，是在最少拍控制存在波纹时，对期望闭环响应(z)进行修正，以达到消除采样点之间波纹的目的 系统输出在采样点之间的波纹，是由控制量序列的波动引起的，其根源在于控制量的Z变换中含有非零极点 设计最少拍无波纹控制器时，除了选择(z)以保证控制器的可实现性和闭环系统

15、的稳定性之外，还应将被控对象Gp(z)在单位圆内的非零零点包括在(z)中，以便在控制量的Z变换中消除引起振荡的所有极点,最少拍无波纹随动系统的设计（2）, 若被控对象有 l 个采样周期的纯滞后，并有 w 个非零零点 bi， v 个在单位圆上或圆外的极点 aj ，则设计最少拍无纹波系统时，选取 其中 ， 的项数按有波纹设计类似的原则选取，即：,最少拍无波纹随动系统的设计（3）, 例如，对被控对象 针对单位速度输入设计最少拍无波纹控制器，选择 因此,最少拍随动系统的设计（15+）, 一般说来，若被控对象有 l 个采样周期的纯滞后，并有 u 个 零点 bi ，v 个在单位圆上或圆外的极点 aj ，即 式中Gp(z)表示不含单位圆上及圆外零极点部分 则选择系统闭环传函必须满足如下约束条件： e (z)零点必须包括Gp(z)的单位圆上或圆外的极点 (z)的零点包括Gp(z)的单位圆上或圆外的零点 (z)中增加滞后时间大于等于Gp(z) 纯滞后时间的纯滞后环节,