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1、 二次函数二次函数【知识清单知识清单】1、一般的，形如2(0, , ,)yaxbxc aa b c是常数的函数叫二次函数。例如222212,26,4 ,5963yxyxyxx yxx 等都是二次函数。注意：系数a不能为零，, b c可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式：2(0, , ,)yaxbxc aa b c是常数顶点式：2()( , ,0)ya xhk a h ka为常数，且，顶点坐标为( , )h k交点式：1212()()(0,)ya xxxxax xx其中是抛物线与轴的交点的横坐标3、二次函数的图像位置与系数, ,a b c之间的关系a：决定抛物线的开口方向及开口的大
2、小。当0a 时，开口方向向上；当0a 时，开口方向向下。|a决定开口大小，当|a越大，则抛物线的开口越小；当|a越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。c：决定抛物线与y轴交点的位置。当0c 时，抛物线与y轴交点在y轴正半轴（即x轴上方） ；当0c 时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴（即x轴下方）；当0c 时，抛物线过原点。反之，也成立。 ab和：共同决定抛物线对称轴的位置。当02b a时，对称轴在y轴右边；当02b a时，对称轴在y轴左边；当02b a（即当0b 时）对称轴为y轴。反之，也成立。特别：当1x 时，有yabc；当1x 时，有yabc。反之也成立。4、二次函数2()ya xhk的图
3、像可由抛物线2yax向上（向下） ，向左（向右）平移而得到。具体为：当0h 时，抛物线2yax向右平移h个单位；当0h 时，抛物线2yax向左平移h个单位，得到2()ya xh；当0k 时，抛物线2()ya xh再向上平移k个单位，当0k 时，抛物线2()ya xh再向下平移k个单位，而得到2()ya xhk的图像。5、抛物线2(0)yaxbxc a与一元二次方程20(0)axbxca的关系：若抛物线2(0)yaxbxc a与x轴有两个交点，则一元二次方程20(0)axbxca有两个不相等的实根。若抛物线2(0)yaxbxc a与x轴有一个交点，则一元二次方程20(0)axbxca有两个相等的
4、实根（即一根） 。若抛物线2(0)yaxbxc a与x轴无交点，则一元二次方程20(0)axbxca没有实根。6、二次函数2(0, , ,)yaxbxc aa b c是常数的图像与性质关系式2(0)yaxbxc a2()(0)ya xhk a图像形状抛物线顶点坐标24(,)24bacb aa( , )h k对称轴 2bxa xh0a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而减小；在图像对称轴右侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而增大；增减性在图像对称轴左侧，即2bxa 或xh，y随x的增大0a 而增大；在图像对称轴右侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而减小；0a 当2bxa 时
5、，24=4acbya最小值当xh时，=ky最小值最大值最小值0a 当2bxa 时，24=4acbya最大值当xh时，=ky最大值【考点解析考点解析】考点一：二次函数的概念考点一：二次函数的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是（ ）2.81A yx .81B yx 8.C yx 23.4D yx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A中281yx符合2(0)yaxbxc a的形式，所以是二次函数，,B C分别是一次函数和反比例函数，D中右边234x不是整式，显然不是二次函数。【答案】A【例 2】已知函数2234(2 )3(1)mmymm xmxm是二次函数，则m _。【解析】根据二次函数的定
6、义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x的最高次数为2”。故有2220342mmmm，解得0212mmmm 且或，综上所述，m取2。【答案】2【针对训练针对训练】1、若函数22(2)mymxmx是二次函数，则该函数的表达式为_y 。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例 1】已知点8 , a在二次函数2axy 的图象上，则a的值是（）2 . A 2.B .C2 2.D【解析】因为点8 , a在二次函数2axy 的图象上，所以将点8 , a代入二次函数2axy 中，可以得出3a8，则可得2a，【答案】. A【例 2】若二次函数cb
7、xaxy2的x与y的部分对应值如下表，则当1x时，y的值为（ ）x765432y271333535 . A 3.B 13.C 27【解析】设二次函数的解析式为khxay2，因为当4x或2时，3y，由抛物线的对称性可知3h，5h，所以532xay，把3 , 2代入得，2a，所以二次函数的解析式为5322xy，当3x时，27y。 【答案】C【针对训练针对训练】1、过0 , 1, 0 , 3, 2 , 1三点的抛物线的顶点坐标是（ ）. A 2 , 1 2.(1, )3B 5 , 1. C 14.(2,)3D2、无论m为何实数，二次函数2xy mxm 2的图象总是过定点（ ） 3 , 1. A 0
8、, 1.B 3 , 1. C 0 , 1D【例 3】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数cbxaxy2的图象顶点为2, 2.A，且过点2 , 0B，则y与x的函数关系式为（ ） . A22 xy.B222 xy .C222 xy .D222 xy【解析】设这个二次函数的关系式为222xay，将2 , 0B代入得22022，解得：1a，故这个二次函数的关系式是222 xy，【答案】D【针对训练针对训练】1、过0 , 1， 0 , 3， 2 , 1三点的抛物线的顶点坐标是_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数, ,a b c的关系）的关系
9、）【例 1】已知二次函数bxay2) 1()0(a有最小值 1，则a、b的大小关系为（ ）. Aba .Bba .Cba .D不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数bxay2) 1()0(a有最小值 1，所以0a，1b，1b，所以ba 。【答案】. A【针对训练针对训练】 1、二次函数1422xxy的最小值是 。2、二次函数3) 1(22xy的图象的顶点坐标是（ ）. A)31 ( ， .B)31(， .C)31 ( ， .D)31( ，3、抛物线)2( xxy的顶点坐标是（ ）. A) 11( ， .B) 11(， .C) 11 ( ， .D) 11 ( ，【例 2】
10、抛物线3)2(2 xy可以由抛物线2xy 平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）. A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位.B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线2xy 向左平移 2 个单位可得到抛物线2)2( xy，再向下平移 3个单位可得到抛物线3)2(2 xy。 【答案】.B【针对训练针对训练】 1、已知下列函数：（1）2xy ；（2）2xy；（3）2) 1(2 xy。其中，图象通过平移可以得到函数322xxy的图象的有 （填写所有
11、正确选项的序号） 。2、将抛物线22 xy向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。3、将抛物线2xy向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）. A22xy .B2)2( xy.C2)2( xy .D22xy【例 3】二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） . A0a.B0c.C042 acb .D0cba【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，与x轴有两个交点，所以0a，0c，042 acb，且当1x时，0cbay。显然选项 A、B、C 都正确，只有选项 D 错误。
12、 【答案】.D【例 4】已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，对称轴为直线1x，则下列结论正确的是（ ）. A0ac.B方程02cbxax的两根是11x，32x.C02ba.D当0x时，y随x的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知0a，0c，故 A 错误；因对称轴为直线1x，所以12ab，故 C 错误；由图象可知当01 x时，y随x的增大而增大，故 D 错误；由二次函数的对称性可知 B 选项正确，【答案】.B【针对训练针对训练】 1、在同一平面直角坐标系中，函数mmxy和函数222xmxy（m是常数，且0m）的图象可能是（ ）. A.B.C.D2、已知抛物线cbxaxy
13、2)0(a在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）. A0a .B0b.C0c .D0cba3、在反比例函数中xay )0(a，当0x时，y随x的增大而减小，则二次函数axaxy2的图象大致是（ ）. A.B.C.D考点四：二次函数的实际应用考点四：二次函数的实际应用【例 1】某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格1y（元）x与月份（91 x，且x取整数）之间的函数关系如下表：月份x123456789价格1y（元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格2y（元）与月份x（10x12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出1y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出2y与x之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人力成本为 50 元，其它成本 30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量1p（万件）与月份x满足函数关系式1 . 11 . 01xp（1x9，且x取整数）10 至 12 月的销售量2p（万件）与月份x满足函数关系
