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1、120122012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012 年 9 月 8 日上午 10001120）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分把答案填在横线上1. 已知，则 .02014201320112010201222kkk答案： （或）2201224048142解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)nnnnnnnn24222(54)(2) .nnnn2. 函数的最小值等于 .( )sin()sin()cos366f xxxx答案：1 解：因为( )sin coscos sinsin coscos sincos3
2、6666 3sincos32sin()3,6f xxxxxxxxx所以的最小值为 1.)(xf3. 已知 ，其中为常数，且. 若 为1( )2bxf xxa, a b2ab 1( )( )f xfkx常数，则的值为 . k答案：1.4 解：由于222211(1)( )( )222(4)2bxbxbxbxbkf xfxxaaxaxaxa是常数，故，且. 将代入整理2a kb22(4)1akb2bak22(4)1akb得，分解因式得. 若，则22(4)(1 4 )0kk ak2(41)(1)0kka410k ，因此，与条件相矛盾. 故，即.210ka 222abka410k 1 4k 24. 已知
3、方程有两个相异的正实数解，则实数的取值范围是 . 2133xxpp答案： 9(, 2).4解法一：令，则原方程化为. 3xt 230ttp根据题意，方程有两个大于 1 的相异实根.230ttp令，则2( )3f tttp22( 3)40, 9(1)13 10,2.431.2pfpp 解法二：令，则原方程化为. 注意到这个关于的方3xy 230yypy程最多有两个解，而由严格单调递增知每个最多对应一个，因此所求3xy yx的应当使有两个相异的实数解，且满足的p230yyp12,y y12 123,3xxyy两个实数都是正的. 由于都是正的，故都应大于 1. 由于12,x x12,x x12,y
4、y，故，因此必须满足，及. 因此123yy213yy1y11y 131y113yy的取值范围为. 因此的取值范围为1y33(1, )( ,2)221211(3)py yyy .9(, 2)45. 将 25 个数排成五行五列：11121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa已知第一行,成等差数列，而每一列，11a12a13a14a15a1ja2 ja3 ja，（）都成等比数列，且五个公比全相等. 若,4 ja5 ja15j 244a412a ,则的值为_.4310a1155aa答案： 1
5、13解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相 等.由,知且公差为 6，故,.412a 4310a4210( 2)42a 4416a4522a由,知公比.244a4416a2q若，则,，故；2q11321 4as 552224 11a115511aa 若，则,，故.2q11321 4as5522( 2)4( 11)a 115511aa 6.设点P在曲线1 2xye上，点Q在曲线ln(2 )yx上，则PQ的最小值为_.解：.2(1 ln2)函数1 2xye与函数ln(2 )yx互为反函数，图象关于yx对称.函数1 2xye上的点1( ,)2xP xe到直线yx的距离为1 2
6、 2xex d .设函数minmin111 ln2( )( )1( )1 ln2222xxg xexg xeg xd .由图象关于yx对称得：PQ最小值为min22(1 ln2)d.7.将 2 个和 2 个共 4 个字母填在 44 方格表的 16 个小方格内，每个小ab方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得 2 个既不同行也不同列的填法有种，使得 2 个既不a22 4472C A b同行也不同列的填法有种，故由乘法原理，这样的填法共有种.22 4472C A 272其中不合要求的有两种情况：2 个所在的方格内都填有的情况有 72 种；
7、ab2 个所在的方格内恰有 1 个方格填有的情况有种.ab12 16916 72C A 所以，符合条件的填法共有种.27272 16 72396048.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形11280绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为，则该梯形的周长为 .156答案：.162 13解：设梯形的上底长为，下底长为，高为，则梯形绕上底旋转所得abh旋转体的体积为，因此，22211()(2 )33h bh abh ab21(2 )1123h ab即. 同理有，两式相除得，去2(2 )336h ab2(2)240h
8、ab23367 22405ab ab分母化简得，代入得.3ba2(2 )336h ab248ah 注意到直角腰长等于高，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，h其体积为. 将代入化简得. 结合可221()1563h aabb3ba236a h 248ah 解得，因此，由勾股定理知另一条腰的长度为3,4ah9b ，因此梯形的周长为.224(93)2 133942 13162 13二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 3 3 小题，共小题，共 5656 分解答应写出文字说明、证明过程分解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤1 （本小题满分 16 分）设椭圆2222+=1xy a
9、b( 0)a b的左、右顶点分别为,A B，点在椭圆上且异于,A B两点，O为坐标原点. 若|=|APOA，证明：直P线OP的斜率k满足.|3k 解法一：设( cos , sin )(02 )P ab., (,0)Aa由，有，| |APOA22( cos)( sin )aaba即. 4 分22222cos2cossin0aab从而 22222221cos0,cos2cossinsin.aaba 所以，且.1cos022222sin213coscosb a 5所以， 16 分sin2|13.coscosbka 解法二：设( cos , sin )(02 )P ab.则线段OP的中点(cos ,s
10、in )22abQ.|=|APOA1AQAQOPkk .sinsincos22cosAQAQAQbkbakakaa. 8 分22222222222)cos(sin)(2AQAQAQAQkaakabkbbak. 16 分1|33AQkk2 （本小题满分 20 分） 设非负实数， 满足. 求abc3cba222222()()()Saabbbbccccaa的最大值.解：不妨设.显然有，.cba222bbccb222ccaaa5 分根据 AM-GM 不等式可得2222223 6622554 33()() 9223344()4()()12.229333ababSa baabbaabbababababca
11、abb 15 分所以 S 的最大值为 12，这时. 0 , 1 , 2,cba20 分3 （本小题满分 20 分）求出所有的函数使得对于所有， *:fNNxy，都能被整除.*N2( ( )f xy2( )f yx解：根据题目的条件，令，则能被整除.1 yx2( (1)1f(1)1f因此能被整除，也就是能被整除.2( (1)(1)ff(1)1f(1)( (1)1)ff(1)1f因为与互素，所以能被整除，且(1)f(1)1f(1) 1f(1) 1f6，所以，.(1) 1(1) 1ff (1)10f (1)1f10 分令，则能被整除，因此.从而，1y2( ( )1f x21x22( ( )f xx( )f xx对所有 x.*N令，则能被整除.从而，对所有 y.1x1y( )1f y ( )yf y*N综上所述，对所有 x.( )f xx*N20 分
