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1、2010-2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学(一一)试卷试卷 一、选择题一、选择题(1-8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分,下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合只有一项符合 题目要求题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)极限 2 lim ()() x x x xa xb = (A)1(B)e (C)ea b (D)eb a (2)设函数( , )zz x y由方程(, )0 y z F x x 确定,其中F为可微函数,且 2 0,F 则
2、zz xy xy = (A)x(B)z (C)x(D)z (3)设,m n为正整数,则反常积分 2 1 0 ln (1) m n x dx x 的收敛性 (A)仅与m取值有关(B)仅与n取值有关 (C)与,m n取值都有关(D)与,m n取值都无关 (4) 22 11 lim ()() nn x ij n ni nj = (A) 1 2 00 1 (1)(1) x dxdy xy (B) 1 00 1 (1)(1) x dxdy xy (C) 11 00 1 (1)(1) dxdy xy (D) 11 2 00 1 (1)(1) dxdy xy (5)设A为m n型矩阵,B为n m型矩阵,若,
3、ABE则 (A)秩( ),mA秩( )mB(B)秩( ),mA秩( )nB (C)秩( ) , n A秩( )mB(D)秩( ) , n A秩( )nB (6)设A为 4 阶对称矩阵,且 2 0,AA若A的秩为 3,则A相似于 2010-2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 (A) 1 1 1 0 (B) 1 1 1 0 (C) 1 1 1 0 (D) 1 1 1 0 (7)设随机变量X的分布函数( )F x 00 1 01, 2 1 e2 x x x x 则1P X = (A)0(B)1 (C) 1 1 e 2 (D) 1 1 e (8)设 1( ) f x为标准正态分布的概率密度
4、2 ,( )fx为 1,3上均匀分布的概率密度, 1 2 ( ) ( ) af x bfx 0 0 x x (0,0)ab( )f x 为概率密度,则, a b应满足 (A)234ab(B)324ab (C)1ab(D)2ab 二、填空题二、填空题(9-14 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设 2 0 e ,ln(1), t t xyudu 求 2 2 0t d y dx = . (10) 2 0 cosxxdy = . (11)已知曲线L的方程为1 1,1,yx x 起点是( 1,0),终点是(1,0),
5、 则曲线积分 2 L xydxx dy = . (12)设 22 ( , , )|1,x y zxyz 则的形心的竖坐标z= . (13)设 123 (1,2, 1,0) ,(1,1,0,2) ,(2,1,1,) , TTT 若由 123 , 形成的向量空 间的维数是 2,则= . 2010-2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 (14)设随机变量X概率分布为(0,1,2,), ! C P Xkk k 则 2 EX= . 三、解答题三、解答题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字解答应写出文字 说明、证明过程
6、或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分) 求微分方程322 exyyyx的通解. (16)(本题满分 10 分) 求函数 2 2 1 ( )()e x t f xxtdt 的单调区间与极值. (17)(本题满分 10 分) (1)比较 1 0 ln ln(1)nttdt 与 1 0 ln(1,2,) n tt dt n 的大小,说明理由. (2)记 1 0 ln ln(1)(1,2,), n n uttdt n 求极限lim. n x u (18)(本题满分 10 分) 求幂级数 1 2 1 ( 1) 21 n n n x n 的收敛域及和函数. (19)(本题满
7、分 10 分) 设P为椭球面 222 :1S xyzyz上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求 P点的轨迹,C并计算曲面积分 22 (3)2 , 44 xyz IdS yzyz 其中是椭球面S位于曲线 C上方的部分. (20)(本题满分 11 分) 设 11 010 ,1 , 111 a Ab已知线性方程组Axb存在两个不同的解. (1)求, . a (2)求方程组Axb的通解. (21)(本题满分 11 分) 设二次型 123 ( ,) T f x xxAxx在正交变换xy Q下的标准形为 22 12, yy且Q的第三 列为 22 (,0,) . 22 T (1)求.A (2)证明AE为正定矩阵,其中E为 3 阶单位矩阵. (22)(本题满分 11 分) 2010-2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 设二维随机变量()XY的概率密度为 22 22 ( , )e, xxy y f x yAxy 求常数及A条件概率密度 | ( | ). Y X fy x (23)(本题满分 11 分) 设总体X的概率分布为 X123 P1 2 2 其中(0,1)未知,以 i N来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数 (1,2,3),i 试求常数 123 ,a a a使 3 1 ii i Ta N 为的无偏估计量,并求T的方差.
