《2010全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(含解析)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 - 1 - 页 共 8 页 2010 年高中数学联赛四川赛区初赛试题年高中数学联赛四川赛区初赛试题 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1、评阅试卷时，请依据评分标准、评阅试卷时，请依据评分标准. .选择题和填空题只设选择题和填空题只设 5 分和分和 0 分两档；其它各题的分两档；其它各题的 评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. . 2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可
2、参考 本评分标准适当划分档次评分，本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次，不要再增加其它中间档次分一个档次，不要再增加其它中间档次. . 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） 1、已知条件p： 3 4 2sin1 和条件 q： 3 4 cossin则p是q的（ C ） A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 解：因为 3 4 cossin)cos(sin2sin1 2 ， 故p是q的充要条件故选 C 2、在 5 件产品中有 4 件正品、1 件次品从中任取 2 件，记其中含正品的个数个数为随机变 量，则的数学期望E是（
3、C ） A、 5 6 B、 5 7 C、 5 8 D、 5 9 解：数学期望是： 5 8 21 2 5 2 4 2 5 1 4 C C C C 故选 C. 3、设正三棱锥ABCS 的底面边长为 3，侧棱长为 2，则侧棱SA与底面ABC所成的角的 大小是（ A ） A、 30 B、 45 C、 60 D、2arctan 解：设顶点S在底面ABC的射影是H，则H为ABC的外心 从而3 2 3 3 3 2 AH，于是可得 30SAH故选 A 4、已知函数 42 4)42( )( 24 224 xx xkkx xf的最小值是 0，则非零实数k的值是（ B ） A、4 B、2 C、2 D、4 解： 42
4、 )62(1)( 24 2 2 xx x kkxf， 第 - 2 - 页 共 8 页 因为 24 44xx，故 6 1 42 0 24 2 xx x 当062 2 kk时，1 min f，不合题意； 当062 2 kk时，)62( 6 1 1, 1 2 minmax kkff， 由条件知0)62( 6 1 1 2 kk，解得2k或 0（舍去） 故选 B. 5、长方体 1111 DCBAABCD 的八个顶点都在球O的球面上，其中1 1 AA， 22AB，33AD，则经过CB、两点的球面距离是（ C ） A、 3 2 B、 3 4 C、2 D、4 解：球O的半径3)33()22(1 2 1 22
5、R，在OBC中3 OCOB， 33 ADBC，则 2 1 cosBOC，从而 3 2 BOC 所以，经过CB、两点的球面距离是2 3 1 32故选 C 6、对任意实数m，过函数1)( 2 mxxxf图象上的点)2(, 2(f的切线恒过一定点P， 则点P的坐标为（ B ） A、)3, 0( B、 )3, 0( C、)0, 2 3 ( D、)0, 2 3 ( 解：因为mxxf2)(，故mf4)2(于是过)2(, 2(f的切线方程是： )2)(4()25(xmmy 即3)4(xmy，因此切线方程恒过)3, 0(故选 B 7、设 A1、A2为椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左右
6、顶点，若在椭圆上存在异于 A1、A2的 点P，使得0 2 PAPO，其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ D ） A、) 2 1 , 0( B、 ) 2 2 , 0( C、) 1, 2 1 ( D、) 1, 2 2 ( 第 - 3 - 页 共 8 页 解：由题设知OPA2=90，设 P(x,y)(x0)，以 OA2为直径的圆方程为 4 ) 2 ( 2 22 a y a x， 与椭圆方程联立得0)1 ( 22 2 2 baxx a b 由题设知，要求此方程在(0, a )上有实根 由此得a a b a )1 (2 0 2 2 化简得 2 1 2 e，所以 e 的取值范围为) 1
7、, 2 2 (故选 D 8、记)0(,) 3 3 ()(),( 22 y y x yxyxF，则),(yxF的最小值是（ A、 5 12 B、 5 16 C、 5 18 D、4 解：设动点) 3 ,( x xP与) 3 ,( y yQ，则 2 ),(PQyxF，点P的轨迹为直线 3 x y，点Q的 轨迹为双曲线 x y 3 ，双曲线上的任一点) 3 ,( 0 0 x x到直线03 yx的距离 10 6 10 3 3 0 0 x x d，当3 0 x时等号成立故),(yxF的最小值为 5 18 故选 C 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 1、)(xf是定义在R上的
8、奇函数，且)1 ()(xfxf，则)2010(f 解：由条件知0)0(f，)()() 1(xfxfxf，于是)()2(xfxf， 即)(xf是以 2 为周期的周期函数所以，0)0()2010( ff故填 0 2、实数yx，满足6|1|2|1|3yx，则yx32 的最大值是 解：由6|1|2|1|3yx确定的图形是以四边形ABCD及其内部， 其中)4, 1(A、) 1, 1 (B、)2, 1(C、) 1, 3(D 由线性规划知识知，yx32 的最大值是 4，当2, 1yx时可取到故填 4 第 - 4 - 页 共 8 页 3、在数列 n a中，1 1 a，当2n时， 2 1 , nnn SSa成等
9、比数列，则 n n an2lim 解：由条件知当2n时，) 2 1 )() 2 1 ( 1 2 nnnnnn SSSSaS 从而2 11 1 nn SS ，于是 12) 1(2 11 1 nn SSn ，所以 12 1 n Sn 于是 )32)(12( 2 32 1 12 1 1 nnnn SSa nnn 所以， n n an2lim 2 1 ) 3 2)( 1 2( 2 lim )32)(12( 2 lim 2 nn nn n nn 故填 2 1 4、集合的容量是指集合中元素的和则满足条件“7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1A，且若Aa时， 必有Aa8”的所有非空集合A的容量
10、的总和是 （用具体数字作答） 解：先找出满足条件的单元素和二元素的集合有： 4 1 A，7 , 1 2 A，6 , 2 3 A，5 , 3 4 A，将这四个集合中的元素任意组合起 来也满足要求，则所有符合条件的集合 A 中元素的总和是 ：2242)8884( 3 故填 224. 三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分） 13、已知函数 ) 4 3 cos(32cos4) 4 sin(2) 4 sin()( xxxxxf （I）试判断函数)(xf的奇偶性，并给出证明； （II）求)(xf在, 2 上的最小值与最大值 解：（I）)sin(cos 2 23 2cos4)co
11、s(sin2)cos(sin 2 2 )(xxxxxxxxf xx2cos4cos22 5 分 )(2cos4cos22)2cos(4)cos(22)(xfxxxxxf 所以，)(xf为偶函数 10 分 （II）) 1cos2(4cos22)( 2 xxxf 第 - 5 - 页 共 8 页 4cos22cos8 2 xx 4 17 ) 8 2 (cos8 2 x 15 分 因为 , 2 x，故01x， 所以，当0cosx时，)(xf有最小值4； 当 8 2 cosx时，)(xf有最大值 4 17 20 分 14、已知F为抛物线xy4 2 的焦点， M 点的坐标为(4,0)，过点 F 作斜率为
12、1 k的直线与抛 物线交于 A、B 两点，延长 AM、BM 交抛物线于 C、D 两点，设直线CD的斜率为 2 k （I）求 2 1 k k 的值；（II）求直线 AB 与直线 CD 夹角 的取值范围 解：（I）由条件知)0, 1 (F，设),( 11 yxA、),( 22 yxB、),( 33 yxC、),( 44 yxD，不妨设 0 1 y 直线AB的方程为) 1( 1 xky，与xy4 2 联立得 04 4 1 2 y k y 所以4 21 yy，1 21 xx 5 分 当4 1 x时，则)4, 4(A，故1 4 1 2 y y， 4 1 2 x，即) 1, 4 1 (B 直线AM的方程为
13、4x，从而)4, 4(C；直线BM的方程为：)4( 15 4 xy， 与xy4 2 联立得01615 2 yy，得16 4 y，64 4 x，即)16,64(D 于是 3 4 1 k， 3 1 464 )4(16 2 k所以4 2 1 k k 10 分 当4 1 x时，直线 AM 方程为 )4( 4 1 1 x x y y 与抛物线方程xy4 2 联立得 2 1 22 1 )4(4)4(xxxy，又由 1 2 1 4xy ，化简上述方程得016)16( 1 2 1 2 1 xxxxx 第 - 6 - 页 共 8 页 此方程有一根为 x1，所以另一根 1 3 16 x x ， 1 3 16 y
14、y 即) 16 , 16 ( 11 yx C，同理， ) 16 , 16 ( 22 yx D 所以， 1 12 12 21 21 12 12 2 4 1 1616 1616 k xx yy yy xx xx yy k ，即4 2 1 k k 15 分 由、可知4 2 1 k k （II） 4 3 4 3 1 tan 2 1 1 21 21 k k kk kk ，故 4 3 arctan 所以，直线 AB 与直线 CD 夹角 的取值范围是 4 3 arctan, 0( 20 分 15、已知函数1)( 23 xmxxxf，其中m为实数 （I）求函数)(xf的单调区间； （II）若对一切的实数x，有 4 7 |)(xxf成立，其中)(x f 为)(xf的导函数求实数 m的取值范围 解：（I）因为123)( 2 mxxx
