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1、1第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系一、选择题一、选择题1设 ，为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 l ，m，有如下的两个命题：若，则lm；若 lm，则那么( )A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C都是真命题D都是假命题2如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )ABD平面 CB1D1BAC1BDCAC1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1角为 603关于直线 m，n 与平面，有下列四个命题：m，n且，则 mn；m，n且，则 mn；m，n且，则 mn；m，n且，则 mn其中真命题的序号是( )ABCD(第 2 题
2、)24给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线 l1，l2与同一平面所成的角相等，则 l1，l2互相平行若直线 l1，l2是异面直线，则与 l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是( )A1B2C3D45下列命题中正确的个数是( )若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都没有公共点 A0 个B1 个C2 个D3 个 6 两直线 l1与 l2
3、异面，过 l1作平面与 l2平行，这样的平面( )A不存在B有唯一的一个C有无数个3D只有两个7把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( )A90B60C45D30 8下列说法中不正确的是( )A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行如果一
4、条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直4其中真命题的个数是( )A4 B3 C2 D110异面直线 a，b 所成的角 60，直线 ac，则直线 b 与c 所成的角的范围为( )A30，90 B60，90 C30，60D30，120二、填空题二、填空题11已知三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为 12P 是ABC 所在平面外一点，过 P 作 PO平面，垂足是 O，连 PA
5、，PB，PC(1)若 PAPBPC，则 O 为ABC 的 心；(2)PAPB，PAPC，PCPB，则 O 是ABC 的 心；(3)若点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，则 O 是ABC 的 心；(4)若 PAPBPC，C90，则 O 是 AB 边的 点；(5)若 PAPBPC，ABAC，则点 O 在ABC 的 J(第 13 题)5线上13如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点，将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 14直线 l 与平面 所成角为 30，lA，直线 m，
6、则 m 与 l 所成角的取值范围是 15棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为 d1，d2，d3，d4，则 d1d2d3d4的值为 16直二面角l的棱上有一点 A，在平面，内各有一条射线 AB，AC 与 l 成 45，AB ，AC ，则BAC 三、解答题三、解答题17在四面体 ABCD 中，ABC 与DBC 都是边长为 4 的正三角形(1)求证：BCAD；(2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3，求二面角ABCD 的正弦值；(3)设二面角 ABCD 的大小为 ，猜想 为何值时，四面体 ABCD 的体积最大(不要求证明)(第 17 题)618 如图，在
7、长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E 为 D1C1的中点，连结ED，EC，EB 和 DB(1)求证：平面 EDB平面 EBC；(2)求二面角 EDBC 的正切值.19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，ADBC，ABC90，SA面 ABCD，SAABBC，AD 21(1)求四棱锥 SABCD 的体积；(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是所求二面角的棱. 20*斜三棱柱的一个侧面的面积为 10，这个侧面与它所对棱的距离等于 6，求这个棱柱的体积(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱
8、的截面，使 AA1 垂直于这个截面.)(第 18 题)7(第 20 题)答案：答案：DDDDB BCDBA 11 12外，垂，内，中，BC 边的垂直平313212SSS分 1360 1430，90 15 1660或 12036三、解答题三、解答题17证明：(1)取 BC 中点 O，连结 AO，DOABC，BCD 都是边长为 4 的正三角形，AOBC，DOBC，且 AODOO，BC平面 AOD又 AD 平面 AOD，BCAD (第 17 题)8解：(2)由(1)知AOD 为二面角 ABCD 的平面角，设AOD，则过点 D 作 DEAD，垂足为 EBC平面 ADO，且 BC 平面 ABC，平面 A
9、DO平面 ABC又平面 ADO平面 ABCAO，DE平面 ABC线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离，即 DE3又 DOBD2，233在 RtDEO 中，sin，DODE 23故二面角 ABCD 的正弦值为 23(3)当 90时，四面体 ABCD 的体积最大18证明：(1)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E 为 D1C1的中点DD1E 为等腰直角三角形，D1ED45同理C1EC45，90DEC即 DEEC在长方体 ABCD中，BC平面，又 DE 平面1111DCBA11DCCD，11DCCDBCDE又，DE平面 EBC平面 DEB 过CBCECDE，平面
10、 DEB平面 EBC(2)解：如图，过 E 在平面中作 EODC 于11DCCDO在长方体 ABCD中，面 ABCD面1111DCBA，EO面 ABCD过 O 在平面 DBC 中作11DCCDOFDB 于 F，连结 EF，EFBDEFO 为二面9角EDBC 的平面角利用平面几何知识可得 OF， 51(第 18 题)又 OE1，所以，tanEFO519*解：(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M底面ABADBC )(21，4312211四棱锥 SABCD 的体积是 V SAM底面31 1 31 43 41(2)如图，延长 BA，CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求二面角的棱ADBC，
11、BC2AD，EAABSA，SESBSA面 ABCD，得面 SEB面 EBC，EB 是交线又 BCEB，BC面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB上的射影，CSSE，BSC 是所求二面角的平面角SB，BC1，BCSB，22 ABSA2tanBSC，(第 19 题)22SBBC即所求二面角的正切值为2220*解：如图，设斜三棱柱 ABCA1B1C1的侧面 BB1C1C的面积为 10，A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6，在 AA1上取一点 P 作截面 PQR，使 AA1截面 PQR，AA1CC1，截面10PQR侧面 BB1C1C，过 P 作 POQR 于 O，则 PO侧面BB1C1C，且
12、 PO6 V斜SPQRAA1 QRPOAA121 POQRBB121 1062130 (第 20 题)11第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系参考答案及解析参考答案及解析A 组组一、选择题一、选择题1D 解析：命题有反例，如图中平面平面直线n，l ，m ，且 ln，mn，则 ml，显然平面不垂直平面 ，(第 1 题)故是假命题；命题显然也是假命题，2D 解析：异面直线 AD 与 CB1角为 453D 解析：在、的条件下，m，n 的位置关系不确定4D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案 D5B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A 有无数点在
13、平面 ABCD 外，但 AA1与平面 ABCD 相交，不正确；A1B1平面 ABCD，显然 A1B1不平行于 BD，不正确；A1B1AB，A1B1平面 ABCD，但 AB 平面 ABCD 内，不正确；l 与平面 平行，则 l 与无公共点，l 与平面内的所有直线都没有公共点，正确，应选 B 12(第 5 题)6B 解析：设平面 过 l1，且 l2，则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 ，与 的交线 l3l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.7C 解析：当三棱锥 DABC 体积最大时，平面DACABC，取 AC 的中点 O，则DBO 是等腰直角三角形，即DBO458D 解析：A一组对边平行就决定了共面；B同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D把书本的书
