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1、开始是否i 输出S结束2iSS1ii 1,1Si北京市西城区 2011 年高三一模试卷数 学（理科） 2011. 4 第第卷卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 在每小题列出的四个选项中，选出在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项. .1.1. 已知集合5AxxZ，20Bx x，则AB等于（A）(2,5)（B）2,5)（C）2,3, 4（D）3,4,52 2下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A）2xy （B）2yxx（C）2yx（D）3yx3
2、3. 设3log2a，3log4b，5 . 0c，则（A）abc（B）bca（C）cab（D）bac4 4设向量(1,sin )a，(3sin,1)b，且/ab，则cos2等于（A）3（B）3（C）3（D）35.5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31， 则处应填的数字为（A）4（B）5（C）6（D）76.6.已知函数xxycossin，xxycossin22，则下列结论正确的是（A）两个函数的图象均关于点(,0)4成中心对称（B）两个函数的图象均关于直线4x 成中心对称（C）两个函数在区间(,)4 4 上都是单调递增函数（D）两个函数的最小正周期相同7 7已知曲线1:(0)C yxx及两
3、点11( ,0)A x和22(,0)A x，其中210xx.过1A，2A分别作x轴的垂线，交曲线C于1B，2B两点，直线12B B与x轴交于点33(,0)A x，那么（A）3 12,2xxx成等差数列（B）3 12,2xxx成等比数列（C）132,x x x成等差数列（D）132,x x x成等比数列来源:学+科+网Z+X+X+K8 8如图，四面体OABC的三条棱OCOBOA,两两垂直，2 OBOA,3OC，D为四面体OABC外一点.给出下列命题.不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥存在点D,使CD与AB垂直并且相等存在无数个点D,使点O在四面
4、体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（A）（B）（C）（D）第第卷卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9.9. 在复平面内，复数2i 1 i对应的点到原点的距离为_.10.10.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知2 2PA ，4PC ，圆心O到BC的距离为3，则圆O的半径为_.1111.已知椭圆:Ccos,()2sinx yR经过点1( ,)2m，则m _，离心率e _.1212.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_.PABCOOABDC正(主)视
5、图俯视图侧(左)视图3443331313.某展室有 9 个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有_种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有_种.14.14.已知数列na的各项均为正整数，对于 , 3, 2, 1n，有1 135,2nnnn nnkkaa aaaa 为奇数为偶数. 其中为使为奇数的正整数，,当111a 时，100a_；若存在*mN，当nm且na为奇数时，na恒为常数p，则p的值为_.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080
6、分分. .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. . 15.15.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）设ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且54cosB,2b.（）当35a时，求角A的度数；（）求ABC面积的最大值.来源:学+科+网 Z+X+X+K来源:学科网 ZXXK16 （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 1 1,2 3p.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为1 4.（）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（）
7、求p的值；（）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX.17.17.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）如图, ABCD是边长为3的正方形，DE 平面ABCD，DEAF /，AFDE3，BE与平面ABCD所成角为060.()求证：AC 平面BDE；()求二面角DBEF的余弦值；ABCDFE（）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得/AM平面BEF，并证明你的结论.18.18. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知函数2(1)( )a xf xx，其中0a .（）求函数( )f x的单调区间；（）若直线10xy 是曲线( )yf x的切线
8、，求实数a的值；（）设2( )ln( )g xxxx f x，求( )g x在区间1,e上的最大值.（其中e为自然对数的底数）19.19. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于,A B两点，其中点A在第一象限.（）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；（）若1FAAP ,2BFFA ,121 1 , 4 2 ，求2的取值范围.20.20.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）定义),(21naaa12231|nnaaaaaa为有限项数列na的波动强度.（）当( 1)nna 时，求12100(,)a
9、aa；（）若数列, , ,a b c d满足()()0ab bc，求证：( , , , )( , , , )a b c da c b d；（）设na各项均不相等，且交换数列na中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列na一定是递增数列或递减数列.北京市西城区 2011 年高三一模试卷来源:学_科_网 Z_X_X_K 参考答案及评分标准 数学（理科） 2011.4来源:Zxxk.Com 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 题号12345678答案CBADBCAD二、填空题：本大题共二、填空题：本
10、大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9.9. 2 10.10. 2 11.11. 415，3 212.12. 12 13.13. 60，48 14.14.62；1或5注：11 题，13 题，14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分 标准给分标准给分. . 15.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）解：（）因为54cosB，所以53sinB. 2 分因为35a，2b，由
11、正弦定理Bb Aa sinsin可得21sinA. 4 分因为ba ，所以A是锐角，所以o30A. 6 分（）因为ABC的面积acBacS103sin21， 7 分所以当ac最大时，ABC的面积最大.因为Baccabcos2222，所以acca58422. 9 分因为222acac，所以8245acac， 11 分所以10ac， （当10ac时等号成立） 12 分所以ABC面积的最大值为3. 13 分16.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）解：解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,AAA，依题意有12311(), (), (),23P AP AP Ap且321,AA
12、A相互独立.（）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A1221233 . 3分 （）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B，则有( )P B 123()P A AA121(1)233pp， 5分所以11 34p，1 4p . 7 分（）X的所有可能取值为3 , 2 , 1 , 0. 8 分所以1(0)4P X ，(1)P X P123()A AAP123()A AAP123()A AA111312111 423423424，(2)P X P123()A AAP123()A AAP123()A AA1131211111 2342342344，(3)P X =P123()A A
13、A1111 23424 . 11分 X分布列为： X0123P1 411 241 41 2412 分所以，1111113()012342442412E X . 13分17.17.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）()证明： 因为DE 平面ABCD，所以ACDE . 2 分因为ABCD是正方形，所以BDAC ，从而AC 平面BDE. 4 分()解：因为DEDCDA,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyzD 如图所示.因为BE与平面ABCD所成角为060，即60DBE， 5 分所以3DBED.由3AD可知3 6DE ，6AF . 6 分则(3,0,0)A，(3,0, 6)F，(0,0,3 6)E，(3,3,0)B，(0,3,0)C，所以(0, 3, 6)BF ，(3,0, 2 6)EF ，
