《【高考领航】2017届高考数学二轮复习 第4部分 专题一 思想方法应用 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高考领航】2017届高考数学二轮复习 第4部分 专题一 思想方法应用 文（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1专题一专题一 思想方法应用思想方法应用第第 1 1 讲讲 转化与化归思想转化与化归思想思想诠释转化与化归思想：就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想其应用包括以下三个方面：(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题应用示例方法 1 换元法【典例】 (2016江西赣州模拟)已知实数a，b，c满足abc0，a2b2c21，则a的最大值是_【思路分析】 换元转化为关于a的式子求解【解题过程】 令bx，cy，则xya，x2y21a2，(换元转化)此时直
2、线xya与圆x2y21a2有交点，(建立模型)则圆心到直线的距离d，解得a2 ，(分析求解)|a|21a22 3所以a的最大值为，故填.(总结作答)6363【回顾反思】 换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行【方法运用】 已知a为正常数，若不等式1 对一切非负实数x恒成立，则1xx 2x2 2aa的最大值为_【解析】 原不等式即1 (x0)，(*)x2 2ax 21x令t，t1，则xt21，1x所以(*)式
3、可化为1t对t1 恒成立，t212 2at21 2t22t1 2t12 2所以1 对t1 恒成立，又a为正常数，所以a(t1)2min4，故a的最大t12 a值是 4，故填 4.方法 2 直接转化法2【典例】 已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7( )A21 B42C63 D84【思路分析】 利用通项 公式转化求解含有公 比q的方程利用整体 思维求解【解题过程】 设等比数列an的公比为q，则有a1a3a5a1a1q2a1q421，(公式转化)整理有q4q260，解得q22，(方程求解)那么a3a5a7(a1a3a5)q242，(整体思维)故选 B.(回归作答)【回顾反思
4、】 本题利用等比数列的通项公式进行直接转化与应用通过等比数列的性质，巧妙把式子a1a3a5，a3a5a7整体化，进而求解整体化技巧在解决一些数列性质、创新定义、创新运算等数列问题时经常有上佳表现【方法运用】 有限数列Aa1，a2，a3，an，Sn是其前n项和，定义为数列A的“凯森和” ，如有 99 项的数列Aa1，a2，a3，a99的S1S2S3Sn n“凯森和”为 1 000，则有 100 项的数列1，a1，a2，a3，a99的“凯森和”为_【解析】 根据“凯森和”的定义，知1 000，则S1S2S3S99 99S1S2S3S9999 000，则有 100 项的数列1，a1，a2，a3，a9
5、9的“凯森和”为11a11a1a21a1a2a99 100991，故填 991.100S1S2S3S99 10010099 000 100方法 3 等价转化法【典例】 解不等式：x|2x3|2.【思路分析】 确定零点去绝对值分类转化分别求解汇总得解【解题过程】 原不等式可化为Error!或Error!(转化)解得x5 或x .(求解)1 3综上，原不等式的解集是x|x5 或x (回归)1 3【回顾反思】 等价转化法常用于含有绝对值的问题，含有根号问题，复合函数问题等的求解中，求解的关键是去绝对值、去根号、简化复合函数等，利用运算法则、函数性质等3进行等价转化，把问题简单化处理【方法运用】 解不
6、等式：x|2x3|2.解：原不等式可化为Error!或Error!解得x或x ，1 2综上，原不等式的解集是x|x 1 2方法 4 特殊转化法【典例】 在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则AMMCBNNCMNABACx_，y_.【思路分析】 寻找特殊关 系并建系确定相应点、 向量的坐标根据坐标运算 建立关系式结合坐标相等关 系求解并作答【解题过程】 不妨设ACAB，且AB4，AC3，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，(寻找特例)则A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，M(0,2)，N，(2，3 2)那么，(4,0)，(0,3)，MN(2，1 2
7、)ABAC由xy，可得x(4,0)y(0,3)，(特例转化)MNABAC(2，1 2)即(4x,3y)，则有Error!(2，1 2)解得Error!故分别填 ， .(得出结论)1 21 6【回顾反思】 常用的特殊转化法有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊点、特殊角、特殊位置等通过特殊转化法来处理相关的数学问题，有时可以达到非常好的效果，且直观简单，快捷方便【方法运用】 已知数列xn满足xn3xn，xn2|xn1xn|(nN N* *)，若x11，x2a(a1，a0)，则数列xn的前 2 019 项和S2 019_.【解析】 根据题意，特殊化可得x3|x2x1|a1|1a(a1，a0
8、)，则4x1x2x32.又xn3xn，所以x4x1，x5x2，x6x3，即x4x5x6x1x2x32.同理，x7x8x92，x10x11x122，而 2 0196733，则S2 01926731 346，故填 1 346.方法 5 参数转化法【典例】 (2016山西太原模拟)若对一切|p|2，不等式plog2x4log2xp恒成立，求实数x的取值范围【思路分析】 根据题目条件 进行参数转化结合转化后的 问题进行分析汇总得出 相关结论【解题过程】 原不等式可变形为f(p)p(log2x1)log2x40，且在p2,2上恒成立，(参数转化)由一次函数的图象和性质知f(2)0 且f(2)0，(问题转
9、化)那么Error!即2log2x2，解得 x4，故实数x的取值范围是x| x4(得出结论)1 41 4【回顾反思】 在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定式的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解主参易位、反客为主是处理参数问题的重要方法【方法运用】 对任意x，yR R，不等式x2y2xy3(xya)恒成立，则实数a的取值范围为( )A(，1 B1，)C1，) D(，1【解析】 不等式x2y2xy3(xya)恒成立不等式x2(y
10、3)xy23y3a0恒成立(y3)24(y23y3a)3y26y912a3(y1)212(1a)0，要使得上式恒成立，则有 1a0 成立，故a1，故选 B.第第 2 2 讲讲 分类与整合思想分类与整合思想 思想诠释分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想应用示例方法 1 由数学概念引起的分类整合法5【典例】 中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为_【思路分析】 根据中位数
11、的 概念加以分类结合等差数列性 质建立方程求解汇总得出 相关结论【解题过程】 若这组数有 2n1 个，则an11 010，a2n12 015，又a1a2n12an1，所以a15.(分类转化)若这组数有 2n个，则anan11 01022 020，a2n2 015，又a1a2nanan1，所以a15.(依次求解)综上，可知该数列的首项为 5，故填 5.(汇总结论)优解 将数列的项数简单化当数列的项数为 3 时，则有a21 010，a32 015，且a1a32a2，解得a15.(分类转化)当数列的项数为 4 时，则有a2a31 010，a42 015，且a1a4a2a3，解得a15.(依次求解)综
12、上可知该数列的首项为 5，故填 5.(汇总结论)【回顾反思】 分类讨论是一种逻辑方法及重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法本题主要结合中位数的概念与性质，结合这组数的个数的奇偶情况进行分类讨论【方法运用】 已知函数f(x)(a2)ax(a0，且a1)，若对任意x1，x2R R，0，则a的取值范围是_fx1fx2 x1x2【解析】 当 0a1 时，a20，yax单调递减，所以f(x)单调递增；当 1a2 时，a20，yax单调递增，所以f(x)单调递减；当a2 时，f(x)0；当a2 时，a20，yax单调递增，所以f(x)单调递增由题意可
13、知f(x)单调递增，故a的取值范围是(0,1)(2，)，故填(0,1)(2，)方法 2 由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法【典例】 设数列an的前n项和为Sn，已知 2Sn3n3.求数列an的通项公式【思路分析】 已知数列前 n项和公式分类 讨论分别求解 相应通项利用分段函数的 形式写出通项【解题过程】 由 2Sn3n3 得，当n1 时，2S13132a1，解得a13；(分类转化)6当n2 时，anSnSn1 (3n3)(3n13)3n1.(依次求解)1 2所以数列an的通项公式为anError!(汇总结论)【回顾反思】 已知数列的前n项和Sn求an时，往往通过分类讨论求解一般采用公式a
14、nSnSn1，但要注意对a1是否满足an进行验证数列的通项an与前n项和Sn的关系是anError!【方法运用】 已知数列an的前n项和Sn，nN N* *，求数列an的通项公式3n2n 2解：由Sn得，当n1 时，a1S11.当n2 时，3n2n 2anSnSn13n2.3n2n 23n12 23n12n1 2经检验a13121，也符合公式，故an的通项公式为an3n2.方法 3 由数学运算要求引起的分类整合法【典例】 (2016山东日照模拟)不等式|x|2x3|2 的解集是( )A.(1，)(，5 3)B(，1)(5 3，)C.1，)(，5 3D(，1)(5 3，)【思路分析】 确定绝对值的零点去绝对值进 行分类转化依次求解 不等式组汇总得 解集【解题过程】 原不等式可转化为Error!或Error!或Error!(分类转化)解得x 或1x0 或x0.(依次求解)5 3综上，原不等式的解集是x|x 或x1，故选 C.(汇总结论)5 3【回顾反思】 由
