《高中数学课件 ch4-1函数的单调性和极值最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学课件 ch4-1函数的单调性和极值最值（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 导数的应用,4.1 函数的单调性、极值与最值 函数的单调性 函数的极值 最大值与最小值 方程根的个数,一、函数的单调性,定理1,证,应用拉氏定理,得,说明：,（1）对无穷区间定理也成立.,定理,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,二、单调区间求法,问题:如上例1，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,证明
2、：设,即,可以利用函数的单调性证明不等式,三、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,(1) 极值是局部概念，最值是整体概念；,(2) 极值点肯定不会是端点；,(3) 极小值可能会大于极大值；,(4) 区间内的最值点必为极值点。,极大点,极小点,四、函数极值的求法,定理2(必要条件),定义,注意:,例如,函数的驻点和导数不存在的点通称为函数的临界点.,上面的定理也可以叙述为：函数的极值点必为临界点.,定理2 (必要条件),定理3(一阶充分条件),(不是极值点情形),求极值的步骤:,例6,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,例7,解,定理4(二阶
3、充分条件),证,同理可证(2).,例8,解,图形如下,注意:,即, 是 f (x)的极大值点,因为 f (x)是可微函数, 故 是 f (x)的驻点 ,当 a = 2 时,极大值:,解,即,注：,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),五、最大值和最小值,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),例9,解,计算,比较得, x
4、=1是 f (x)在(0 , 2) 中的唯一极值点且为极小值点,原不等式,令 , 则由,又, x = 1是 最小值点, f (x) f (1) = 0 , x ( 0 , 2 ),解,得 f (x) 在 (0 , 2) 中的唯一驻点 : x =1,例10,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例11,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月
5、180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高.,最大收入为,例12,解,如图,解得,六、方程根的个数,定理6 若函数 在区间 内严格单调,则方程 在区间内 至多有一个根.,例13 方程 有几个实根?,解 即证 方程 有几 个实根,设,驻点为,的单调区间如下表所示,当 a 0 时，方程显然无解,当 a 0 时，,设 , 考虑 f (x) 性质, 驻点 ： x = 2,解,原方程,(1)当 时,方程有唯一实根在(-, 0)内;,
