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1、学案学案 30 数列的通项与求和数列的通项与求和 导学目标： 1.能利用等差、等比数列前 n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能 在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问 题自主梳理 1求数列的通项 (1)数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系：anError!Error! (2)当已知数列an中，满足 an1anf(n)，且 f(1)f(2)f(n)可求，则可用 _求数列的通项 an，常利用恒等式 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(3)当已知数列an中，满足f(n)，且 f(1)f(2)f(n)可求，则可用_求数an1an列的通项
2、an，常利用恒等式 ana1.a2a1a3a2anan1 (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来 求通项 (5)归纳、猜想、证明法 2求数列的前 n 项的和 (1)公式法 等差数列前 n 项和 Sn_，推导方法： _； 等比数列前 n 项和 SnError!Error! 推导方法：乘公比，错位相减法 常见数列的前 n 项和： a123n_； b2462n_； c135(2n1)_； d122232n2_； e132333n3_. (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列 (3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中
3、间项， 只剩有限项再求和 常见的拆项公式有： ；1nn11n1n1；12n12n112(12n112n1).1n n1n1n(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 (5)倒序相加：例如，等差数列前 n 项和公式的推导 自我检测 1(原创题)已知数列an的前 n 项的乘积为 Tn3n2(nN*)，则数列an的前 n 项的和 为_2设an是公比为 q 的等比数列，Sn是其前 n 项和，若Sn是等差数列，则 q_. 3已知等比数列an的公比为 4，且 a1a220，故 bnlog2an，则 b2b4b6b2n_.4(2010天津高三十校联考)已知数列an的通项公式
4、anlog2 (nN*)，设an的n1n2 前 n 项的和为 Sn，则使 Sn0 且 q1)的等比数列，bnanlog4an (nN*) (1)当 q5 时，求数列bn的前 n 项和 Sn；(2)当 q时，若 bn1 020，那么 n 的最小值是_ 6(2010东北师大附中高三月考)数列an的前 n 项和为 Sn且 a11，an13Sn(n1,2,3，)，则 log4S10_.7(原创题)已知数列an满足 a11，a22，an2，则该数列前 26 项的和为1an _ 8对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列” ，若 a12，an的 “差数列”的通项为 2n，则数列an的前 n 项
5、和 Sn_. 二、解答题(共 42 分) 9(12 分)已知函数 f(x)x22(n1)xn25n7(nN*) (1)若函数 f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列an，试证明数列an是等差数列； (2)设函数 f(x)的图象的顶点到 x 轴的距离构成数列bn，试求数列bn的前 n 项和 Sn.10(14 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn nananc(c 是常数，nN*)，12 a26. (1)求 c 的值及数列an的通项公式；(2)证明1，q2，a11. 故数列an的通项为 an2n1. (2)由(1)得 a3n123n， bnln a3n1ln 23n3nln 2. 又
6、bn1bn3ln 2，bn是等差数列， Tnb1b2bnln 2.nb1bn23nn12故 Tnln 2.3nn12 变式迁移 1 4 解析 设 a1，a2，a3，a4的公差为 d，则 a12d4，又 04，故(2)正确； a4a3d5，所以 b42a432，故(3)正确；又 a2a42a38，所以 b2b42a2a428256，故(4)正确 例 2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项 an，观察 Tn特点，求出 Tn.由 an再求 bn从而求 Sn，最后利用不等式知识求出 m.解 (1)an1fan ，(1an)2an33an23an323an是以 为公差的等
7、差数列23又 a11，an n .2313 (2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1 a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1) (a2a4a2n) 4343n(534n313)2 (2n23n)49(3)当 n2 时，bn1an1an1(23n13)(23n13)，92(12n112n1)又 b13 ，Snb1b2bn92(113) 92(113131512n112n1)，92(112n1)9n2n1Sn1，m1，12n 即 m 的取值范围是(，1 例 3 解 依题意，第 1 个月月余款为a110 000(120%)10 00020%10%30011 500，
8、 第 2 个月月底余款为 a2a1(120%)a120%10%300， 依此类推下去，设第 n 个月月底的余款为 an元， 第 n1 个月月底的余款为 an1元，则 an1an(120%) an20%10%3001.18an300. 下面构造一等比数列设1.18，则 an1x1.18an1.18x，an1xanxan11.18an0.18x.0.18x300.x，即1.18.5 0003an15 0003an5 0003数列an是一个等比数列，公比为 1.18，首项 a111 5005 00035 00035 0003.29 5003an1.18n1，5 000329 5003a121.181
9、1，5 000329 5003a121.181162 396.6(元)，5 000329 5003 即到年底该职工共有资金 62 396.6 元 纯收入有 a1210 000(125%) 62 396.612 50049 896.6(元) 变式迁移 3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为an， 由题意可知an是等差数列，其中 a1250，d50， 则 an250(n1)5050n200，Sn250n5025n2225n，nn12 令 25n2225n4 750， 即 n29n1900，而 n 是正整数，n10. 到 2020 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万
10、平方米 (2)设新建住房面积形成数列bn， 由题意可知bn是等比数列，其中 b1400，q1.08， 则 bn400(1.08)n1. 由题意可知 an0.85bn， 即 50n200400(1.08)n10.85. 当 n5 时，a50.85b6， 满足上述不等式的最小正整数 n 为 6. 到 2016 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.课后练习区 132 2. 3.991247解析 设至少需要 n 秒钟，则 121222n1100，100，n7.12n12 564解析 依题意有 anan12n，所以 an1an22n1，两式相除得2，所以an2an a
11、1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而 a11，a22，所以 a1022432，a1112532，又因为 anan1bn，所以 b10a10a1164. 63 解析 该题是数列知识与函数知识的综合an52n24n152 ，(25)(25)(25)n12545 显然当 n2 时，an取得最小值，当 n1 时，an取得最大值，此时 x1，y2，xy3. 721 解析 y(x2)2x，则过点(ak，a )的切线斜率为 2ak，则切线方程为2 kya 2ak(xak)，2 k令 y0，得a 2ak(xak)，2 kx ak，即 ak1 ak.1212故an是 a116，q 的等
12、比数列，12即 an16( )n1，a1a3a5164121.12 8107 解析 由数表知，第一行 1 个奇数，第 3 行 3 个奇数，第 5 行 5 个奇数，第 61 行 61个奇数，前 61 行用去 13561961 个奇数而 2 009 是第 1 005 个奇62 312 数，故应是第 63 行第 44 个数，即 ij6344107.9解 (1)f(1)a ，f(x)x.(1 分)13(13)a1f(1)c c，13a2f(2)cf(1)c ，29a3f(3)cf(2)c；227又数列an成等比数列，a1 c，a2 2a34812272313c1；(2 分)公比 q ，an n1a2a
13、11323(13)2n，nN*；(3(13) 分)SnSn1(Sn Sn1)(Sn Sn1)(n2)，(4SnSn1分) 又 bn0，0，1.SnSnSn1数列构成一个首项为 1、公差为 1 的等差数列，Sn1(n1)1n，Snn2.(6Sn分) 当 n2，bnSnSn1n2(n1)22n1； 又当 n1 时，也适合上式， bn2n1，nN*.(8 分)(2)Tn1b1b21b2b31b3b41bnbn111 313 515 712n1 2n112(113)12(1315)12(1517).(12 分)12(12n112n1)12(112n1)n2n1由 Tn，得 n，n2n11 0002 0091 0009满足 Tn的最小正整数为 112.
