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1、第一章第一章 解三角形解三角形一、正弦定理和余弦定理一、正弦定理和余弦定理1正弦定理：在ABC 中，、分别为角、的对边，为ABC 的外接abcACR圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2正弦定理的变形公式：，；2 sinaR2 sinbR2 sincRC，；sin2aRsin2bRsin2cCR；: :sin:sin:sina b cCsinsinsinsinsinsinabcabc CC 3正弦定理主要用来解决两类问题： 已知两边和其中一边所对的角，求其余的量 已知两角和一边，求其余的量 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解三种情况） 如：在ABC 中
2、，已知 a、b、A（A 为锐角） ，求 B具体的做法是（数形结合思想）： 画出图： 法一：把 a 绕着 C 点旋转，看所得轨迹与 AD 有无交点： 当无交点时，则 B 无解； 当有一个交点时，则 B 有一个解； 当有两个交点时，则 B 有两个解 法二：算出 CD=bsinA，看 a 的情况： 当 absinA 时，则 B 无解； 当 bsinAab 时，则 B 有两个解； 当 absinA 或 ab 时，则 B 有一解 注：当 A 为钝角或是直角时以此类推即可4三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac5余弦定理：在ABC 中，有，2222cosabcbc2222cosb
3、acac 2222coscababC 6余弦定理的推论：，222 cos2bcabc222 cos2acbac222 cos2abcCab余弦定理主要解决的问题：1）已知两边和夹角，求其余的量；2）已知三边求角；3）判断三角形的形状：设、是ABC 的角、的对边，则：若，则abcABC222abc ；若，则；若，则90C222abc90C 222abc90C 例 1 已知ABC 中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则 x 的取值范围是( ) Ax2Bx2C2x2D2x223答案答案：CDbsinAAbaC解析解析：由题设条件可知，2x2o2sin452xx 2例 2 在ABC 中，解三角形：
4、（1）a，b2，A30；2（2）a5，b2，B120；（3）a2，b2，C152解：解：（1）由，得 sinB，asinAbsinBbsinAa2sin30222ab，BA30， B 为锐角或钝角(或bsinAa4b，B 为锐角或钝角)， B45或 B135 当 B45时，C180(AB)180(3045)105，又，csinCasinAc1asinCsinA2sin105sin302sin75sin302 6 24123当 B135时， C180(AB)180(30135)15，c1asinCsinA2sin15sin302 6 24123B45，C105，c1 或 B135，C15，c13
5、3（2）解法一：由得，asinAbsinBsinA1，asinBb5sin12025 3225 34A 不存在，此题无解 解法二：a5，b2，B120， ba，AB120， AB240与 ABC180矛盾 这是不可能的，因此本题无解（3）cos15cos(4530)cos45cos30sin45 sin30，6 24sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin306 24由余弦定理，得 c2a2b22abcosC482()84，2623c62又由正弦定理，得，asinAcsinC，解得 sinA 2sinA6 26 2412又 b2c2a20，即 cosA0， A 为锐角，
6、即 A30 B180(AC)180(3015)135 例 3 在ABC 中，已知(abc)(abc)3ab，且 2cosAsinBsinC，确定ABC 的形状解：解：由正弦定理，得 sinCsinBcb由 2cosAsinBsinC，有 cosAsinC2sinBc2b又根据余弦定理，得 cosA，即 b2a20，abb2c2a22bcc2bb2c2a22bc又(abc)(abc)3ab， (ab)2c23ab，4b2c23b2 bcabc 因此ABC 为等边三角形 例 4 设 2a1、a、2a1 为钝角三角形的三边，求实数 a 的取值范围 解：解：2a1、a、2a1 是三角形的三边， Err
7、or!，解得 a ，此时 2a1 最大，12要使 2a1、a、2a1 表示三角形的三边，还需 a(2a1)2a1，解得 a2设最长边 2a1 所对的角为 ，则 cos0，a22a122a122a2a1aa82a2a1解得 a812a 的取值范围是 2a8二、正余弦定理的综合应用二、正余弦定理的综合应用 例 1 某人在 C 点测得塔 AB 在南偏西 80，仰角为 45，沿南偏东 40方向前进 10 m 到 O， 测得塔 A 仰角为 30，则塔高为_ 答案答案：10 m 解析：解析：画出示意图，如图所示， CO10，OCD40，BCD80，ACB45， AOB30，AB平面 BCO，令 ABx，则
8、 BCx，BOx，3在BCO 中，由余弦定理得(x)2x21002x10cos(8040)，3整理得 x25x500， 解得 x10，x5(舍去)， 故塔高为 10 m例 2 在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 a2b2abc22（1）求 C；（2）设 cosAcosB，求 tan 的值3 25cosAcosBcos225解：解：（1）因为 a2b2abc2，2由余弦定理有 cosC，故 Ca2b2c22ab 2ab2ab2234（2）由题意得，sinsinAcoscosAsinsinBcoscosBcos225因此(tansinAcosA)(tansinBcosB)
9、，25tan2sinAsinBtan(sinAcosBcosAsinB)cosAcosB，25tan2sinAsinBtansin(AB)cosAcosB25因为 C，AB ，所以 sin(AB)，34422因为 cos(AB)cosAcosBsinAsinB，即sinAsinB，223 25解得 sinAsinB3 2522210由得 tan25tan40， 解得 tan1 或 tan4例 3 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知2 cosbcaB （1）证明：A=2B；（2）若ABC 的面积，求角 A 的大小24aS解：解：（1）由已知及正弦定理得，sin sin
10、 2sin cosB +CA B故，2sin cossin sin (+ )sin sin coscossin A BB +ABB +A B AB+于是，sin sin ()BAB-又，故，(0)，AB 0AB-所以或，()BAB-BAB-因此（舍去）或，A2AB2AB（2）由得，故有，24aS21sin24aabC1sin sin sin 2sin cos 2BCBBB因，得sin0BsincosCB又，所以(0)，BC 2CB当时，； 2BC 2A当时， 2CB 4A综上，或 2A 4A例 4ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2cos( coscos)C aB+bA
11、c（1）求C；（2）若的面积为，求ABC的周长7cABC，3 3 2解：解：（1）由已知及正弦定理得，2cos(sincossincos)sinCAB+BAC即2cossin()sinCA+BC故2cossinsinCCC可得，1cos2C 3C（2）由已知，13 3sin22abC又，所以 3Cab6由已知及余弦定理得，222cos7ababC 故，从而2213ab225ab（）所以ABC 的周长为57例 5 在ABC 中，2222acbac（1）求的大小；（2）求的最大值B2coscosAC解：解：（1），2222acbac， 2222acbac，22222cos222acbacBacac， 0B 4B（2），4ABCB ，3 4CA3222coscos2coscos()2cos(cos )sin422ACAAAAA ，22cossinsin()224AAA，的最大值为 1，3 4AC 3(0)4，A()44，Asin()4A最大值为 12coscosAC本章整合本章整合igoH
