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1、第二章第二章 数列数列一、数列的概念和性质一、数列的概念和性质 1数列：按照一定顺序排列着的一列数 2数列的项：数列中的每一个数 3数列分类： （1）按项数分类：有穷数列、无穷数列（项数无限的数列） （2）按单调性分类：递增数列（即：an+1an） 、递减数列（即：an+1an） 、常数列（即： an+1an） 、摆动数列（例如 1，1，1，1） 4数列的通项公式：表示数列an的第 n 项与序号 n 之间的函数关系的公式 5数列的递推公式：表示任一项 an与它的前一项 an-1（或前几项）间的函数关系的公式例 1 已知数列an的通项公式为 an(n2)()n，试问 n 取何值时，an取得最大值
2、？并求出910最大值解：解：(1)an1ann3910n1n2910n910n3n29101n29109101n2令1，得1，an1an9109101n2解得 n7，当 n7 时，1，即 a7a8；a8a7又 n7 时，1，即 anan1；an1an当 n8 时，1，即 anan1；an1an可见 a1a2a6a7a8a9a10；当 n7 或 8 时，an取得最大值，最大值为 a7a898107例 2 某人上一段 11 级的楼梯，如果一步可上一级，也可上两级，则他共有多少种不同的上 楼梯的方法？ 解：解：设此人上 n 级楼梯共有 an种不同的方法当第一步上一级时，则余下 n1 级楼梯， 有 a
3、n1种不同的上法；当第一步上两级时，则余下 n2 级楼梯，共有 an2种不同的上法，anan1an2 显然， a11，a22，a33，a45，a58，a613，a721，a834，a955，a1089，a11144 共有 144 种不同的上楼梯的方法 例 3 已知数列an，a1a(a0，a1)，anaan1(n2)，定义 bnanlgan，如果数列bn 是递增数列，求 a 的取值范围解：解：anaan1(n2)，a(n2)anan1a，a，a，a(n2)a2a1a3a2a4a3anan1将以上各式相乘，得an-1，ana1a n-1an(n2)ana1又 a1a 满足上式，anan(nN*)b
4、nanlgananlgannanlga 由 bnbn1得 nanlga(n1)an+1lga（） I）当 a1 时，lga0， 式为 n(n1)a 对一切 nN*恒成立，即 a对一切 nN*恒成立，nn1由于数列bn1为递增数列，且1，nn11n1nn1a1 II）当 0a1 时，lga0， 式为 n(n1)a，即 a对一切 nN*恒成立nn1由于 1，0a 12nn112综上所述，数列bn是递增数列时，a 的取值范围是(0， )(1，)12二、等差数列的概念与性质二、等差数列的概念与性质 1如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为
5、等差数列的公差符号表示：1nnaad注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：（n2，d 为常数） ；（n2） ； 1nnaad-112nnnaaa+-+naknb+(n，k 为常数)2由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等aAbAab差中项若，则称为与的等差中项2acb+bac3若等差数列的首项是，公差是，则 na1ad11naand()+-4通项公式的变形：；nmaanm d11naand1 1naadn ；11naandnmaadnm 5等差数列的性质：是等差数列，若（、） ，则；若 namnpqmnp*qmnpqaaaa（、） ，则2npqnp*q2npqaaa下
6、标为等差数列的项仍组成等差数列2kk mkmaaa，数列ban（为常数）仍为等差数列，b若na、 nb是等差数列，则nka、nnkapb (k、p是非零常数)、*( ,)p nqap qN也成等差数列单调性： na的公差为d，则：） 0d na为递增数列；） 0d na为递减数列；） 0d na为常数列数列na为等差数列napnq（p，q 是常数） 6等差数列的前项和的公式：；n12nnSaaa1 2n nn aaS11 2nn nSnad7等差数列的前项和的性质：n若项数为，则，且，*2n n21nnnSn aaSSnd奇偶1nnSa Sa奇偶若项数为，则，且，（其中*21nn2121nnS
7、nanSSa奇偶1Sn Sn奇偶，） nSna奇1nSna偶若等差数列 na的前n项和nS，则是等差数列232、kk kkkSSS例 1 在等差数列an中：（1）a1 ，d ，Sn15，求 n 及 an；3212（2）a11，an512，Sn1 022，求 d解：解：（1）Snn ( )15，32nn1212整理得 n27n600， 解得 n12 或 n5(舍去)，a12 (121)( )43212（2）由 Sn1 022，na1an2n51212解得 n4 又由 ana1(n1)d，即5121(41)d， 解得 d171 例 2 设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1a3a53，则
8、S5( ) A5B7C9 D11 答案答案：A 解法一解法一：利用等差数列的性质进行求解a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35故选 A5a1a52解法二解法二：利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式进行整体运算a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3， a12d1，S55a1d5(a12d)5，故选 A5 42例 3 若等差数列共有项，且奇数项的和为 44，偶数项的和为 33，则项数为12 n*()nN（ ） A5B7C9D11 答案：答案：B解析：解析：当总项数为奇数时，1111444 333nnSnanSnan奇偶（）3n例 4 已知两个等差数列an、bn
9、的前 n 项和分别为 Sn、Tn，且(nN*)，求SnTn7n14n27a11b11解：解：由于等差数列an的前 n 项和 Snan2bnan(n )，ba设 Sn(7n1)kn，Tn(4n27)kn，a11S11S10(7111)11k(7101)10k148k， b11T11T10(41127)11k(41027)10k111k a11b11148k111k43例 5 在等差数列an中，a125，S17S9，求前 n 项和 Sn的最大值 解：解：解法一：由 S17S9，得2517d259d，解得 d2，17 17129 912所以 Sn25n(2)(n13)2169nn12由二次函数性质，
10、得当 n13 时，Sn取得最大值 169 解法二：先求出 d2(同解法一) 由 S17S9，得 a10a11a170 而 a10a17a11a16a12a15a13a14，故 a13a140d20，a10，a130，a140 故 n13 时，Sn取得最大值 169 例 6 在等差数列an中，a160，a1712，求数列|an|的前 n 项和解解：等差数列an的公差 d3，a17a1171126016ana1(n1)d60(n1)33n63 由 an0，得 3n630，即 n21 数列an的前 20 项是负数，第 21 项及以后的项都为非负数 设 Sn、Sn分别表示数列an和|an|的前 n 项
11、之和，当 n20 时，SnSn60n3 n2n；nn12321232当 n20 时，SnS20(SnS20)Sn2S2060n32(60203)nn1220 192 n2n1 260321232数列|an|的前 n 项和 SnError!Error!三、等比数列的概念与性质三、等比数列的概念与性质1如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比符号表示： （注：等比数列中不1nnaqa+会出现值为 0 的项；同号位上的值同号） 注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：（n2，q 为常数，且0） ；（n2，1nnaaq-2 1
12、1nnnaaa+-g） ；110nnna aa+-gg (c，q 为非零常数)n nacq2在与中间插入一个数，使，成等比数列，则称为与的等比中abGaGbGab项 （注：由不能，成等比；由，等比能） 2GabaGbaGb2Gab3若等比数列的首项是，公比是，则 na1aq1 1n naa q4通项公式的变形：；n m nmaa q1 1n naa q11nnaqan mnmaqa5等比数列的性质：若 na是等比数列，（、） ，则；若mnpqmnp*qmnpqaaaa（、） ，则2npqnp*q2 npqaaa若 na是等比数列，为等比数列，公比为kq（下标成等差数列，则2kk mkmaaa，
13、对应的项成等比数列） 若 na是等比数列，数列na（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列； na为正项等比数列，则lgna是公差为lgq的等差等差数列若 na是等比数列，则 2 nncaa，1na， ()r narZ是等比数列，公比依次是()rZ21.rqqqq，单调性：或 na为递增数列；101，aq101，0aq或 na为递减数列；101，0aq101，aq na为常数列；0q na为摆动数列0q既是等差数列又是等比数列的数列是常数列若等比数列 na的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23是等比数列6等比数列的前项和的公式： nan；12nnSaaa 11111111n nnnaqSaqaa qqqq 0n nSAqBAB，且例 1 在等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求 n 和 q 解：解：a2an1a1an，a1an128， 解方程组Error!， 得：Error
