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1、1.1.21.1.2 集合的表示方法集合的表示方法教学目标： 使学生了解有限集、无限集概念，掌握表示集合方法，了解空集的概念及其特殊性；通 过本节教学，培养学生逻辑思维能力；渗透抽象、概括的思想. 教学重点： 集合的表示方法，空集. 教学难点： 正确表示一些简单集合. 教学方法： 自学辅导法 在学生自学基础上，进行概括、总结. 教学过程： .复习回顾 集合元素的特征有哪些?怎样理解?试举例说明. 集合与元素关系是什么?如何表示? .讲授新课 1.集合的表示方法 通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有： （1）列举法：把集合中元素一一列举出来的方法. （2）描述法：用确定条件表示
2、某些对象是否属于这个集合的方法. 师由方程x210 的所有解组成的集合可以表示为1，1，不等式x32 的解 集可以表示为xx32. 下面请同学们思考： 幻灯片(A)： 请用列举法表示下列集合 (1)小于 5 的正奇数 (2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数 (3)方程x290 的解的集合 (4)15 以内的质数(5)xZ Z , xZ Z6 3x生(1)满足题条件小于 5 的正奇数有 1，3.故用列举法表示为1，3 (2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数有 6，9，12.故用列举法表示为6，9，12 (3)方程x290 的解为3，3.故用列举法表示为3，3 (4)1
3、5 以内的质数 2，3，5，7，11，13.故该集合用列举法表示为2，3，5，7，11，13(5)满足Z Z 的x有：3x1，2，3，6，解之6 3xx2，4，1，5，0，6，3，9.故用列举法表示为2，4，1，5，0，6，3，9 师通过我们对上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么? 生依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在. 师用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“， ”隔开并放在大 括号内. 除了刚才练习题目中涉及到的问题外，还有如下问题，注意比较各问题的形式，试用描述法表示下列集合. (6)到定点距离等于定长的点 让学生充分考虑，相互研讨后师给出结果 （x，y
4、）|（xa）2（yb）2r2 (7)方程组的解集为（x，y）|3x + 2y2 2x + 3y27)3x + 2y2 2x + 3y27)(8)由适合x2x20 的所有解组成集合 xx2x20 下面给出问题，经学生考虑后回答： 幻灯片（B）： 用描述法分别表示： (1)抛物线x2y上的点. (2)抛物线x2y上点的横坐标. (3)抛物线x2y上点的纵坐标. (4)数轴上离开原点的距离大于 6 的点的集合. (5)平面直角坐标系中第、象限点的集合. 生(1)集合中的元素是点.它是坐标平面内的点，其坐标是一个有序实数.对，可表 示为（x，y）x2y (2)集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐
5、标，用描述法表示即为xx2y. (3)集合中的元素是实数.该实数是符合条件的平面上点的纵坐标.用描述法表示即为 yx2y. (4)该集合中元素是点.而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，所以可以 表示成xR|R|x|6. (5)平面直角坐标系中点是该集合元素.该点可以用一对有序实数对表示，用描述法即可 表示为（x，y）xy0. 师同学们通过对上述问题的解答，解决该类问题的关键是什么? 生(经讨论后得出结论) 解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素. 师集合中元素的公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但必须抓住 其实质. 师再看几例 1.用列举法表示 1
6、到 100 连续自然数的平方； 2.x，x，y，（x，y）的含义是否相同. 生x表示单元素集合；x，y表示两个元素集合；（x，y）表示含一点集合. 而对于 1 题经教师指导给出结论，该集合列举法表示为1，4，9，25，1002. 3. xyx21，yyx21，（x，y）yx21，的含义是否相同. (3)集合相等 两个集合相等、应满足如下关系： A2，3，4，5，B5，4，3，2，即有集合A的元素都是集合B的元素，集合B的 元素都是集合A的元素. 幻灯片： 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集 合B的任何一个元素都是集合 A 的元素.我们就说集合A等于集合
7、 B.记作AB. 用式子表示：如果AB，同时BA，那么AB.如：a，b，c，d与b，c，d，a相等； 2，3，4与3，4，2相等； 2，3与3，2相等. 师请同学互相举例并判断是否相等. 稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨. 如：Axx2m1，mZ Z，Bxx2n1，nZ Z. 2.集合的分类 师指出： （1）有限集含有有限个元素的集合. （2）无限集含有无限个元素的集合. 那么投影(A)中的集合和（B）中的集合是有限集还是无限集，经重新投影后，学生作答. 生幻灯片（A）中的五个集合都是有限集；幻灯片（B）中的五个集合都是无限集. 3.空集师表示空集，既不含任何元素的集合. 例如：x
8、x220，xx210 请学生相互举例、验证，师补充说明： 4.师集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下： 画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：表示任意一个集合A边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并 把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. .课堂练习 1.解：(1)满足题意的集合可用描述法表示 xN Nx10；它是一个无限集. (2)满足题意的集合可用列举法表示如下： 2，3，6；它是一个有限集. (3)满足题意的集合可用列举法表示如下： 2，2；它是一个有限集. (4)满足题意的集合可用列举法表示如下：
9、 2，3，5，7；它是一个有限集. 2.解：(1)该集合可用描述法表示如下： xx是 4 与 6 的公倍数；它是一个无限集. (2)该集合可用描述法表示如下： xx2n，nN N*；它是一个无限集. (3)该集合可用描述法表示如下： xx220；它是一个有限集. (4)不等式 4x65 的解集可用描述法表示如下：xx；它是一个无限集.11 4表示3，9，27表示 4，6，10问题的解决主要靠判断集合中元素的多少，进而确定表示方法. 3.判断正误： （1）x1，0，1 时，yx21 的值的集合是2，1，2（2）方程组的解集是1，1x + y0 2xy3)（3）方程x22x30 的解集是 x1，3
10、，xx1，x3， 1 或3， （1，3） ， 1或34.方程组的解集用列举法表示为_；用描述法表示为_.x + y2 xy5)解：因的解集为方程组的解. x + y2 xy5)解该方程组x ，y 7 23 2则用列举法表示为（ ， ）；用描述法表示为（x，y）|7 23 2x + y2 xy5)5.(x，y)xy6，x，yN N用列举法表示为_. 解：因xy6，x，yN N 的解有：x0y6) x1 y5) x2 y4) x3 y3) x4 y2) x5 y1) x6 y0)故列举法表示该集合，就是(0，6),(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1),(6，0) .课时小结
11、1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限 集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.2.注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究. .课后作业 （一）1.用列举法表示下列集合： (1)x24 的一次因式组成的集合. (2)yyx22x3，xR,R,yN N. (3)方程x26x90 的解集. (4)20 以内的质数. (5)（x，y）x2y21，xZ Z,yZZ. (6)大于 0 小于 3 的整数. (7)xR Rx25x140. (8)（x，y）xN N，且 1x4，y2x0. (9)（x，y
12、）xy6，xN N，yN N. 分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序 地用“， ”隔开放在大括号内. 解：(1)因x24（x2） （x2） ，故符合题意的集合为x2，x2. (2)yx22x3（x1）24，即y4，又yN N，y0，1，2，3，4. 故yyx22x3，xR,R,yN N0，1，2，3，4. (3)由x26x90 得 x1x23 方程x26x90 的解集为3. (4)20 以内的质数2，3，5，7，11，13，17，19. (5)因xZ Z , yZ Z ，则x1，0，1 时，y0，1，1. 那么(x，y)x2y21，xZ Z , ,yZZ
13、（1，0） ， （0，1） ， （0，1） ， （1，0）. (6)大于 0 小于 3 的整数1，2. (7)因x25x140 的解为x17，x22，则xR Rx25x1407，2. (8)当xN N 且 1x4 时，x1，2，3，此时y2x，即y2，4，6.那么（x，y）xN N 且 1x4，y2x0（1，2） ， （2，4） ， （3，6）. (9)（x，y）xy6，xN N，yN N（0，6） （1，5） ， （2，4） ， （3，3） ， （4，2） ， （5，1） ， （6，0）. 2.用描述法表示下列集合： (1)方程 2xy5 的解集. (2)小于 10 的所有非负整数的集合.
14、(3)方程axby0（ab0）的解. (4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合. (5)平面直角坐标系中第、象限点的集合.(6)方程组的解的集合. (7)1，3，5，7，.x + y1 xy1)(8)x轴上所有点的集合. (9)非负偶数. (10)能被 3 整除的整数. 分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属 性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质. 解：(1)（x，y）2xy5. (2)小于 10 的所有非负整数的集合用描述法表示为x0x10，xZ Z. (3)方程axby0（ab0）的解用描述法表示为（x，y）axby0（ab0）. (4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合用描述法表示为xx3. (5)平面直角坐标系中第、象限点的集合用描述法表示为（x，y）xy0.(6)方程组的解的集合用描述法表示为（x，y）.x + y1 xy1)x + y1 xy1)(7)1，3，5，7
