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1、2018/10/20,1998年全国大学生数学建模竞赛A题,投资的收益和风险,2018/10/20,市场上有n种资产（如股票，债券）,供投资者选择，某公司有,数额M的一笔相当大的资金投资，经评估购买,的平均收益率为,风险损失率为,（总风险用其最大值度量）。,购,的费率为,购买不足,时费用按购,计算。同期银行利率为,1）已知n=4时的相关数据如下：,试设计投资组合方案使净收益尽可能大风险尽可能小。,2018/10/20,建立数学模型,关键量：,对,的投资,投资交易费用,投资净收益,投资组合,投资组合净收益,投资风险,投资资金,建模：,2018/10/20,存银行数额,双目标优化模型：,2018/
2、10/20,模型的化约,固定风险优化收益,固定赢利，极小化风险,确定相对风险-收益偏好系数,2018/10/20,化简与求解,M很大,化为线性规划模型,固定风险：,有偏好的情形：,2018/10/20,组合投资的马库维茨模型1952年美国经济学家马库维茨（H.M.Markowitz）用概率的方法，将收益视作随机变量，用它的方差作为风险的指标，建立了完整的组合投资理论，于1990年获得诺贝尔经济学奖。本节简要介绍他的优化投资组合模型。,2018/10/20,模型的建立设投资的期限是一年，可供选择的金融资产数为n。设此n中金融资产的年收益为随机变量 。由于我们主要关心投资的分配比例，不妨设投资总数
3、为1个单位，用于第j中投资的资金比例为 ， 令，称为投资组合向量。显然应有。,2018/10/20,投资一年的收益 也是一个随机变量，期望收益为马库维茨建议用随机变量 （组合投资收益）的方差作为投资风险的度量，即设随机向量的数学期望为 ，自协方差矩阵为,2018/10/20,那么投资者一般希望收益越大越好，风险越小越好。但收益大和风险小往往是两个有矛盾的目标，因此马库维茨将问题归结为：将风险控制在一定水平之下，选择投资组合使期望收益最大；或者在收益不低于某个水平前提下使投资的风险最小。这样就有以下两个马库维茨组合投资优化模型。第一个模型是控制风险优化收益模型,2018/10/20,。,其中r是预定的风险水平,2018/10/20,第二个模型是控制收益，极小化风险的模型,2018/10/20,还可将收益和风险指标进行加权平均，得到如下模型其中， 是一个适当选取的常数。由于在 中包含了各分量的二次项，这三个模型均为二次规划模型。,2018/10/20,模型的求解和应用上述三个模型中均需要用到随机变量 的数学期望和协方差矩阵，这可以通过对前若干年的各资产收益的统计分析获得。而这些二次规划问题在系数确定后可用软件（如LINDO/LINGO）求解。,
