弹性力学课件03-应力应变关系

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1、第三章 弹性与塑性应力应变关系,弹性状态,一维：胡克定律,三维：广义胡克定律,塑性状态,应力与应变及变形历史有关,应力与应变增量的关系：增量理论,比例变形时：全量理论,屈服条件,第三章 弹性与塑性应力应变关系,拉伸应力应变曲线 弹塑性力学中常用的简化模型 弹性应力应变关系广义胡克定律 常用的屈服条件 岩土材料的变形模型和强度准则 增量理论应力与应变增量的关系 全量理论（形变理论） 德鲁克公设和加卸载条件,一、低碳钢拉伸时的应力-应变曲线,OB：弹性阶段,sb,BC：屈服阶段,CD：强化阶段,DE：局部变形阶段,C,ss,ss,31 拉伸应力 - 应变曲线,31 拉伸应力 - 应变曲线,一、低碳

2、钢拉伸时的应力-应变曲线,J.Bauschinger效应：,强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在相反方向降低的效应。,理想J.Bauschinger效应：,屈服极限在一个方向提高的数值与在相反方向降低的的数值相等。,二、真应力-应变曲线,材料不可压缩：,sTA,31 拉伸应力 - 应变曲线,32 弹塑性力学常用的简化模型,1. 理想弹性力学模型,符合材料的实际情况。 数学表达式足够简单。,力学模型的要求：,2. 理想弹塑性力学模型,32 弹塑性力学常用的简化模型,3. 线性强化弹塑性力学模型,e=1,E,E1,（双线性强化力学模型）,4. 幂强化力学模型,n：强化指数：0 n

3、 1,6. 线性强化刚塑性力学模型,（刚塑性力学模型）,5. 理想塑性力学模型,32 弹塑性力学常用的简化模型,33 弹性应力应变关系广义虎克定律,一、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,E：弹性模量 m ：泊松比,G：剪切弹性模量,三、空间应力状态下的应力 - 应变关系,依叠加原理,得:,广义虎克定律,体积应变：,体积应力：,体积应变与三个主应力的和成正比。,体积应变与平均应力成正比。,体积弹性模量,体积应力与体积应变,偏量形式的广义虎克定律,偏量形式的广义虎克定律,应力偏量与应变偏量成正比,应力主轴与应变主轴相重合,在弹性变形阶段，应力Lode参数与应变Lode参数相等，应力

4、主轴与应变主轴重合，应力偏量与应变偏量成正比。,应力圆与应变圆成比例,四、用应变分量表示应力形式的广义胡克定律,Lame常数,五、主应力 - 主应变关系,六、平面应力状态下的应力-应变关系:,七、平面应变状态下的应力-应变关系:,34 常用的屈服条件,一、塑性力学的基本概念,1. 塑性力学的研究内容：,研究材料塑性变形和作用力之间关系（本构关系）。 研究在塑性变形后物体内部应力分布规律。,2. 塑性力学的特点：,应力与应变的关系是非线性的。（与材料有关） 应力与应变之间没有一一对应的关系。（与加载历史有关） 在变形体中有弹性变形区和塑性变形区。（分界面、线） 区分加载和卸载过程。（加载使用塑性

5、应力应变关系，卸载使用广义胡克定律。）,3. 塑性条件（屈服条件）：,材料处于弹性状态或塑性状态的判断准则。,单向拉伸时的屈服条件：,考虑应力的组合对材料是否进入塑性状态的影响。,弹性状态,进入塑性状态,空间应力状态：,应力空间：,以应力为坐标轴的空间。,应力空间中每一点都代表一个应力状态。,应力路径：,应力空间中应力变化的曲线。,根据不同的应力路径进行实验，可确定从弹性阶段进入塑性阶段的分界面。,分界面,屈服曲面：区分弹性区和塑性区的分界面（超曲面）。,屈服条件：描述分界面的数学表达式。（屈服函数）,屈服函数：,对于各向同性材料：坐标轴的转动不影响屈服,建立主应力空间（三维空间）：,应力球张

6、量不影响材料的屈服，屈服面一定是是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表面，其母线垂直于平面。,屈服面与p 平面的交线称为屈服轨迹或屈服曲线。,p 平面：通过坐标原点的等倾面。,屈服曲线的性质：,1. 屈服曲线是一条封闭曲线，并且坐标原点被包围在内。,2. 由原点O向外作的射线与屈服曲线必相交，且只相交一次（材料的初始屈服强度是唯一的）。,3. 屈服曲线关于1、2、3轴及与其垂直的直线对称（材料是各向同性的，初始拉伸与压缩屈服强度相同）。,4. 屈服曲线对坐标原点为外凸曲线。,屈服曲线的可能位置,二、Tresca 屈服条件（1864，法国）,在物体中，当最大切应力达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。,

7、1. 主应力次序已知时：,单向拉伸时：,纯剪切应力状态时：,二、Tresca 屈服条件,2. 主应力次序未知时：,六个式子中，只要一个式子取等号，材料便进入塑性状态。,几何表示：,将s1 ，s2 ，s3向平面投影,正六棱柱面,二、Tresca 屈服条件,平面上的屈服轨迹：正六边形。,在主应力次序已知时使用方便。 当主应力次序未知时，数学表达式不连续，使用不便。,二、Tresca 屈服条件,3. 平面应力状态：,三、Mises 屈服条件（1913，德国）,三、Mises 屈服条件,Mises条件的常用形式：,（1）应力张量第二不变量形式：,单向拉伸时：,纯剪切时：,三、Mises 屈服条件,Mi

8、ses条件的常用形式：,（1）应力张量第二不变量形式：,单向拉伸时：,纯剪切时：,三、Mises 屈服条件,Mises条件的常用形式：,（2）应力强度形式：,应力强度达到单伸时材料的屈服极限时，材料便进入塑性状态。（A.A.Ilinshin）,（4）等倾面上的切应力形式： （A.L.Nadai）,（3）弹性形变比能形式： （Hencky）,三、Mises 屈服条件,平面应力问题的Mises条件：,平面应变问题的Mises条件？,四、两种屈服条件的比较：,（1）单向拉伸时重合：,Tresca 六边形内接于Mises 圆,（2）纯剪切时重合：,Tresca 六边形外切于Mises 圆,15.5%,

9、13.4%,四、两种屈服条件的比较：,（3）薄壁管轴向拉伸和内压作用下的实验比较：,15.5%,四、两种屈服条件的比较：,（4）薄壁管轴向拉伸和扭转作用下的实验比较：,F,F,M,M,t,四、两种屈服条件的比较：,（4）薄壁管轴向拉伸和扭转作用下的实验比较：,15.5%,F,F,M,M,P97表31,例1：试定出在 z 方向受约束的平面应变问题的屈服条件。m =0.5,解：,Mises 屈服条件：,例1：试定出在 z 方向受约束的平面应变问题的屈服条件。m =0.5,Tresca 屈服条件：,例2：薄壁筒轴向拉伸应力 s 和内压 p 作用，内半径为：r 。壁厚为：t 。 写出 M 和 T 条件

10、。,解：,35 岩土材料的变形模型和强度准则,岩土材料：结构工程中的混凝土、地质和采掘中的岩石、土壤、煤炭、工业陶瓷。 特征： 组织不均，存在固有裂隙强度和刚度降低。（塑性变形是由微裂隙和缺陷的产生和扩展引起的。） 压硬性：抗剪强度随压应力的增加而提高。 剪胀性：在切应力作用下产生塑性体积应变。 等压屈服：在各向相等压力下产生塑性屈服。,岩土塑性力学与金属塑性力学的区别：,屈服条件与应力球张量有关：随静水压力的增加，材料的屈服应力和破坏应力有很大的增长，且拉伸和压缩时的强度差异很大。 岩土材料具有应变软化性质：不能采用强化模型。 压硬性确定了岩土塑性屈服与破坏需考虑平均应力与材料的内摩擦性能。

11、 材料的弹性常数与塑性变形有关：弹塑性耦合。,岩土材料的变形模型和强度准则,连续性假设：在更大范围内描述各种力学量，取统计平均值。 不计时间与温度的影响，忽略蠕变效应和应力松驰。,主要假设：,岩土材料的变形模型和强度准则,蠕变（creep）（缓慢变形）：固体材料在保持应力不变的条件下，应变随时间延长而增加的现象。 蠕变与塑性变形不同，塑性变形通常在应力超过弹性极限之后才出现，而蠕变只要应力的作用时间相当长，它在应力小于弹性极限时也能出现。（岩土材料在地质条件下的蠕变可以产生相当大的变形而所需要的应力却不一定很大。） 蠕变分3个阶段： 初始蠕变或过渡蠕变：应变随时间延续而增加，但增加的速度逐渐减

12、慢； 稳态蠕变或定常蠕变：应变随时间延续而匀速增加，这个阶段较长； 加速蠕变：应变随时间延续而加速增加，直达破裂点。 应力越大，蠕变的总时间越短；应力越小，蠕变的总时间越长。 材料的长期强度：应力低于材料最小应力值时，不论经历多长时间也不破裂，或者说蠕变时间无限长，这个应力值称为长期强度。岩石的长期强度约为其极限强度的2/3。,岩土材料的变形模型和强度准则,应力松弛（stress relaxation）：材料在力的作用下发生塑性变形而导致其内部应力减小的现象。 理解：将一根弹性绳绷紧，两端固定则绳中具有一定的张力，如果这根绳由于这个张力的作用变长，那么绳就变松弛了，则这个绳中的张力就减小了。

13、材料受荷载作用的时候，如果荷载远小于材料的弹性极限，可忽略应力松弛的影响。但如果荷载接近于材料的比例极限，或者荷载相当大，并且持续时间长，则就需要考虑应力松弛的影响。,岩土材料的变形模型和强度准则,岩土材料的压缩曲线：,试验机：刚性试验机，可控制加载速度。（三轴压缩） 试验曲线：, ：非线性上升阶段：OA：内部裂隙压实，应力增加不大、压缩应变较大。AB：应力应变近似线性增长，伴随有体积变化。BC：应力应变非线性增长，微裂隙产生、发展。C： 体积变形从收缩转为扩张，出现宏观裂纹。,岩土材料的变形模型和强度准则,II：应变软化阶段：CD：裂纹的扩展使变形不断增加而应力不断下降。 III：剩余强度阶

14、段：DE：当达到强度极限时积累于材料内的应变能大于从裂缝到破坏过程中所消耗的能量时，材料破坏后仍剩余一部分能量，当突然释放时会伴有岩爆。,岩土材料的变形模型和强度准则,岩爆（rock burst ）：也称冲击地压，它是一种岩体中聚积的弹性变形势能在一定条件下的突然猛烈释放，导致岩石爆裂并弹射出来的现象。 发生条件：岩体中有较高的地应力，并且超过了岩石本身的强度，同时岩石具有较高的脆性度和弹性，在这种条件下，一旦由于地下工程活动破坏了岩体原有的平衡状态，岩体中积聚的能量导致岩石破坏，并将破碎岩石抛出。 发生原因：围岩强度适应不了集中的过高应力而突发的失稳破坏。 防治措施：应力解除、注水软化和使用

15、锚栓-钢丝网-混凝土防爆支护等。,岩土材料的变形模型和强度准则,岩土材料的力学模型：,理想弹塑性模型： （应变软化不明显的材料）,2. 脆塑性模型：（应变软化剧烈的材料）,K 剩余强度系数：0K1,岩土材料的变形模型和强度准则,3. 线性软化模型：（可适用各种软化特性的材料）,4组合模型：根据材料特性在不同阶段采用不同模型。,岩土材料的变形模型和强度准则,强度准则： 在复杂应力状态下，岩土材料出现宏观裂纹时应力之间满足的条件称为强度准则（塑性条件）。 强度准则是表征材料进入临界状态（由弹性状态到非弹性状态）时所采用的力学性能参数。,初始曲服函数：,材料各向同性：,曲服面是锥面。,岩土材料的变形模型和强度准则,一、单参数准则,1. Mises :,2. Tresca :,缺点：没有反映出截面上的正应力对塑性变形的影响。,适用：静水压力不大的情况。,常用的强度准则：,岩土材料的变形模型和强度准则,二、双参数准则,1. Mohr-Coulomb剪切破坏准则 :,c ：岩土材料的粘聚力（截面上的正应力为零时的剪切强度）。,j ：岩土材料的内摩擦角。,sn、tn ：外法线为n 的破裂面（滑动面）上的正应力和切应力。,岩土材料的变形模型和强度准则,Coulomb准则 :,Mohr准则 :,优点：考虑了静水压力的影响及包辛格效应。,岩土材料的变形模型和强度准则,