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1、高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学(四) 概率论与数理统计脚本编写：孟益民 教案制作：孟益民,第四章 数字特征,理解数学期望概念，掌握它的性质与计算。 理解方差概念，掌握它的性质与计算。 掌握（01）分布，二项分布，泊松分布，正态 正态分布，指数分布的数学期望与方差。 掌握协方差、相关系数的概念及计算。 了解矩、协方差矩阵的概念。,通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数值来反映随机变量在某个方面的特征, 这些数值常称为随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望、 方差、协方差和相关系数.,例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只 要知道该地区粮
2、食的平均产量;又如, 在评价一批棉 花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤 维长度与平均长度之间的偏离程度, 等等.实际上,描 述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理 论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简 洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.,第一节 数学期望,一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质,一、随机变量的数学期望,数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征, 英文是expectation, 另一种叫法为均值(everage value)它的实际意义就是平均值. 但属于一种更为严格的平均值,解,1、离
3、散型随机变量的数学期望,设离散型随机变量X的分布律为 PX=xk=pk, k=1,2, 若级数 绝对收敛,则称此级数的和为随机变量X 的数学期望,记为E(X).即,定义1,数学期望简称期望, 又称为均值.,解,解,解,常见 r.v. 的数学期望,设连续型随机变量X 的概率密度为 f(x), 若积分 绝对收敛,则称此积分的值为随机变量X的数学期望,记为E(X). 即,2、连续型随机变量的数学期望,定义2,解,解,常见 r.v. 的数学期望,连续型随机变量的概率密度为,又知E=0.75, 求k 和a的值。,由性质,即 k=a+1 （1）,解,又知,得 k=0.75a+1.5 (2) 由(1)与(2
4、)解得0.25a=0.5, 即 a=2, k=3,二、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何 计算呢？,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求 得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,设Y 是随机变量X 的函数, Y=g(
5、X)(g是连续函数),(2) X是连续型, 概率密度为f(x). 若,(1) X是离散型, 分布律为PX=xk=pk, k=1,2,.,定理,该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,解法1,解法2,解,设风速V在(0,a)上服从均匀分布, 即具有概率密度,又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数, W=kV2(k0, 常数), 求W的数学期望.,由定理有,解,例如, 设Z=g(X,Y)(g是连续函数), 若(X,Y)的概率密度为f(x,y) , 则有,这里设上面的积分绝对收敛.,上面定理还可推广到两
6、个以上随机变量的函数.,又若(X,Y)为离散型随机变量, PX=xi,Y=yj=pij, i ，j = 1,2,., 则有,这里设上式的级数绝对收敛.,解,解,设随机变量(X,Y)的概率密度,解,三、数学期望的性质,(1) 设C是常数, 则E(C)=C.,(2) 设X是一个随机变量, C是常数, 则有,E(CX)=CE(X).,证,证, 此性质可推广到任意有限个随机变量之和.,(3) 设X,Y是两个随机变量, 则有 E(X Y)=E(X) E(Y).,(4) 设X,Y是相互独立的随机变量, 则有 E(XY)=E(X)E(Y).,证, 可推广到多个相互独立的随机变量.,解,证,设XB(n,p),
7、由二项分布的定义知, 随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数, 且在每次试验中A发生的概率为p. 引入随机变量,易知 X=X1+X2+.+Xn, (1) 由于Xk只依赖于第k次试验, 而各次试验相互独立, 于是X1,X2,.,Xn相互独立.,又知Xk,k=1,2,.,n服从同一(0-1)分布:,(1)式表明以n,p为参数的二项分布变量, 可分解为n个相互独立且都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和.,由E(Xk)=p,则,一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).,引入随机变量,现在来求E(X).,解,易知 X=X1+X2+.+X10.,按题意, 任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.,由此,进而,设一电路中电流I(A)与电阻R(W)是两个相互独立的随机变量, 其概率密度为,试求电压V=IR的均值.,解,小结,这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方 差,
