数字电路自己1

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1、,数字电路基础逻辑代数张丽娜,1 概述 2 逻辑代数及其运算规则 3 逻辑公式 4 逻辑代数的基本定理 5 逻辑函数表示方法 6 逻辑函数的化简,在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。,逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。此时0和 1不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。 当变量取1时代表原变量，否则代表反变量,1 概述,一、与逻辑（与运算）,例：开关A，B串联控制灯泡Y,A、B都断开，灯不亮。,A断开、B接通，灯不亮。,A接通、B断开，灯不亮。,A、B都接通，灯亮。,2 逻辑代数及其运算规则,功能表

2、,将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：,真值表,两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：,实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：,二、或逻辑（或运算）,两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：,功能表,真值表,+,实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：,Y=A+B,三、非逻辑（非运算）,功能表,真值表,实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：,常用的逻辑运算,1、与非运算： 逻辑表达式为：,2、或非运算： 逻辑表达式为：,3、异或运算：逻辑表达式为：,A B,Y,0,0,0 1,1 0,1,1,0,1,1,0,相同为0,不

3、同为1,真值表,4、同或运算：逻辑表达式为：,AB=,A B,Y,0 0,0 1,1 0,1 1,1,0,0,1,相同为1，不同为0,真值表,5、 与或非运算：逻辑表达式为：,3 逻辑代数的基本公式和常用公式,一、基本公式,请特别注意与普通代数不同之处,1.常量之间的关系,2.基本公式,分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。,3.基本定理,利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明AB=BA：,二、常用公式,1. A+AB =A,注: 红色变量被吸收掉！,求证: A+BC=(A+B)(A+C),证明:,右边 =(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC,=A +A(B+

4、C)+BC,=A(1+B+C)+BC,=A 1+BC,=A+BC,=左边,也可以用真值表证明,证明:,A+AB =(A+A) (A+B) ;分配律 =1(A+B)=A+B,A+BC=(A+B)(A+C),3. AB+AB =A,4. A(A+B )=A,证明: A(A+B )=AA+AB=A+AB=A(1+B)=A,5. AB+AC+BC =AB+AC,证明:,AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C) +AC(1+B)=AB +AC,AB+AC+BCD =AB+AC,证明:,A(AB) =A(A+B)=AA+AB= AB,A(AB) =A(A+B

5、)=AA+AB= A(1+B)=A,一、代入定理,任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。,例如，已知等式 ，用函数Y=BC代替等式中的B，根据代入定理，等式仍然成立，即有：,4 逻辑代数的基本定理,二、 反演定理,对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演定理。,应用反演定理应注意两点：,1、保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表达式中，AB之间先运

6、算，再和其它变量进行运算， 那么非函数的表达式中，仍然是AB之间先运算。2、不属于单个变量上的反号应保留不变。,三、 对偶定理,对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式 YD, YD称为Y的对偶式。,对偶定理：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。,（2）式,（12）式,5 逻辑函数及其表示方法,一、逻辑函数,如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关

7、系称为逻辑函数。Y=F(A,B,C,),二、逻辑函数表示方法,常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图、卡诺图及硬件描述语言。它们之间可以相互转换。,例：一举重裁判电路,设A、B、C为1表示开关闭合，0表示开关断开； Y为1表示灯亮，为0表示灯暗。得到函数表示形式：,真值表,函数式,逻辑图,波形图,真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,一输入变量，二种组合,二输入变量，四种组合,三输入变量，八种组合,四输入变量，16种组合,请注意,n个变量可以有2n个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,逻辑函

8、数式,把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。,比如：,逻辑图：,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。,各种表示方法之间的相互转换,1、真值表逻辑函数式,方法:将真值表中为1的项相加,写成 “与或式”。,2、逻辑式真值表,方法:将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值,列成表即得真值表。,例2.5.2,0,1,1,1,1,1,1,0,3、逻辑式逻辑图,方法:用图形符号代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图.,例2.5.3,4、逻辑图逻辑式,方法:从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到

9、对应的逻辑函数式.,5、波形图真值表,0,1,1,0,0,1,0,1,最小项:,在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项：,4个变量可组成 16(24)个最小项,记作m0m15。,三、逻辑函数的两种标准形式,最小项的性质:,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,全部最小项的和必为1。,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,逻

10、辑函数的最小项表达式,对于不是最小项表达式的与或表达式， 可利用公式AA1 和A(B+C)ABAC 来配项展开成最小项表达式。,例6,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,四、逻辑函数形式的变换,根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决定门电路的个数和种类。在用电子器件组成实际的逻辑电路时，由于选择不同逻辑功能类型的器件，因此需要将逻辑函数式变换成相应的形式。,1、最简与或表达式,最简与或表达式,与门的输入端个数少,2、最简与非-与非表达式,在最简与或表达式的基础上两次取反,用摩根定律去掉内层的非号,3、最简或与表达式,求出反函数的最

11、简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,4、最简或非-或非表达式,求最简或与表达式,两次取反,用摩根定律去掉内部的非号,、最简与或非表达式,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉内部非号。,方法一：,求出反函数的最简与或表达式,求反，得到最简与或非表达式,方法二：,6 逻辑函数的化简方法,一、公式化简法,并项法：,吸收法：,A+AB =A,消项法：,消因子法：,配项法：,例1 试用并项法化简下列函数,=B,例2 试用吸收法化简下列函数,= A+BC,例3 用消项法化简下列函数,例4 用消因子法化简下列函数,例5 化简函数,解：,; A+AA,例2.6.6 化简函数,解：,; A+A

12、1,例6 化简函数,解二：,; 消去，消去,解三：,; 消去,消去,;增加冗余项,;增加冗余项,例7 化简逻辑函数,解：,吸收法,逻辑函数的卡诺图表示法,将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。,卡诺图的定义：,二、卡诺图化简法,逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。,卡诺图的表示：,上下对折,左右对折均是逻辑相邻项.,用卡诺图表示逻辑函数：,例8 用卡诺图表示逻辑函数,解：将Y化为最小项之和的形式,m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m15,1,例9 已知逻辑函数的

13、卡诺图,试写出该函数的逻辑式,用卡诺图化简逻辑函数,合并最小项的原则,（1）任何两个（21个）相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。,合并最小项的原则,（2）任何4个（22个）相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,合并最小项的原则,（3）任何8个（23个）相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,合并最小项的原则,利用 AB+AB=A 2个最小项合并，消去1个变量； 4个最小项合并，消去2个变量； 8个最小项合并，消去3个变量； 2n个最小项合并，消去n个变量；,卡诺图化简法的步骤, 画出变量的卡诺图; 作出函数的卡诺图; 画圈; 写出最简与或表达式。,画 圈 的 原 则,

14、 合并个数为2n； 圈尽可能大-乘积项中含因子数最少； 圈尽可能少-乘积项个数最少； 每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。,例10 用卡诺图将下式化简为最简与或函数式,1,1,Y,Y,例11 用卡诺图将下式化简为最简与或函数式,Y,Y,6.2 具有无关项的逻辑函数化简,约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,无 关 项,约束项:当限制某些输入变量的取值不能出现时，用它们对应的最小项恒等于0来表示。,任意项:在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。,在卡诺图中用符号“”、“”或“d”表示无关项。 在化简函数时即可以认为它是1，也可以认为它是0。,例1 化简逻辑函数,已知约束条件为,例2 判断一位十进制数是否为偶数。,输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。,无关项：,不利用无关项的化简结果为：,利用无关项的化简结果为：,