《数学选修4-5学案 §2.1.3不等式的证明(3)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学选修4-5学案 §2.1.3不等式的证明(3)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、选选修修4 4- -5 5学案学案 2.1.32.1.3 不等式的的证明不等式的的证明(3)(3) 姓名 学习目标学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法反证法、换元法与放缩法;XX2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式奎屯王新敞新疆 知识情景知识情景：1.1. 不等式不等式证明的证明的基本方法基本方法：10. 比差法比差法与比商法比商法(两正数时)2 20 0. . 综合法综合法和分析法分析法30. 反证法反证法、换元法换元法、放缩法放缩法2. 综合法综合法：从已知条件、已知条件、不等式的性质、不等式的性质、基本不等式基本不等式等出发,通过逻辑推理逻辑推理, 推导出所要证明的
2、结论推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法综合法.又叫由由 导导 法法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12nABBBB3. 分析法分析法：从要证的结论出发要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义定义、公理或已证的定理公理或已证的定理、性质等性质等),从而得出要证的命题成立从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做分析法分析法.这是一种这是一种执执 索索 的思考和证明方法的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：新知建构新知建构：1.1.反证法反证法：利用反证法证明不等式
3、，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. .例例 1 1已知 + b + c 0，b + bc + c 0，bc 0，求证：, b, c 0 . .aaaaa2.换元换元法法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有：10已知，可设 ， ；222ayx20已知，可设 ， ()；122 yx10 r30已知，可设 ， .12222 by ax例例 2 2 设实数满
4、足，当时，的取值范围是（ ）, x y22(1)1xy0xycc 21,) (,21. A.B(,21.C 21,).D例例 3 已知，求证：221xy2211ayaxa12( ) nBBBBA 结步步寻求不等式已 论成立的充分条件知3. 放缩法放缩法：“放”和“缩”的方向方向与“放”和“缩”的量的大小量的大小由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度要注意放缩的适度.常用的方法是：添加或舍去一些项，如：， aa12nnn ) 1(将分子或分母放大（或缩小）如： 2111 (1)(1)n nnn n应用“糖水不等式”：“若，则”0ab0m aam bbm利用基本不等式，如：；2lg3 lg5(
5、)lg4利用函数的单调性利用函数的有界性：如：； sin x1xR绝对值不等式：；ababab利用常用结论：如：，122211kkkkkkk *,1kNk122211kkkkkkk*,1kNk应用贝努利不等式贝努利不等式：2(1)(1)11.1 2nnn nxnxxxnx 例例 4 当当 n 2 时，求证：(1)log (1)lognnnn例例 5求证：. 33211 3211 211 111n例例 6 若 a, b, c, dR+，求证：21cadd bdcc acbb dbaa选选修修4-5练习练习 2.1.32.1.3 不等式的证明不等式的证明(3)(3) 姓名 1、设二次函数，求证：中
6、至少有一个不小于.qpxxxf2)()3(, )2(, ) 1 (fff212、设 0 0，且 x + y 2，则和中至少有一个小于 2。xy1 yx15、已知 ，求证：122xy21 222xxyy36、设，求证：；2( )13f xxx1xa( )( )21f xf aa7、求证：31 1112xxx8、求证 .111bbaababa9、设为大于 1 的自然数，求证n.21 21 31 21 11nnnn10、若是自然数，求证n. 21 31 21 112222n11、求证：223111112212nnn (n2)12、求证：1112121223nnn *nN参考答案参考答案:例例 1 1
7、 例例 2 2 例例 3 放缩法放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试3. 得出,要注意放缩的适度。常用的方法是：添加或舍去一些项，如：，aa12nnn ) 1(22131 242aa将分子或分母放大（或缩小）真分数的性质：“若，则”0ab0m aam bbm利用基本不等式，如：；4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log22) 1() 1(nnnn利用函数的单调性利用函数的有界性：如：；sin x1xR2xx1 4xR20xxR利用常用结论：、，122211kkkkkkk *,1kNk122211kkkkkkk*,1kNk、 ； （程度大）k
8、kkkk1 11 ) 1(112111 ) 1(112kkkkk、 ； （程度小）)11 11(21 ) 1)(1(1 11122kkkkkk绝对值不等式：；应用二项式定理.ababab构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.4. 贝努利不等式贝努利不等式 例如，对于任何和任何正整数，由牛顿二项式定理可得0xn.321)2)(1( 21) 1(1)1 (22nnxxnnnxnnnxx舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： .nxxn1)1 (在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。 该不等式不仅当是正整数的时候成立，而且当是任何大于 1
9、的有理数的时候也成立。nn这就是著名的贝努利不等式贝努利不等式。 在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设，1x则在或时，在时，10xx1)1 (10.1)1 (xx例例 4证：n 2 0) 1(log, 0) 1(lognnnn2222) 1(log2) 1(log) 1(log) 1(log) 1(log nnnnnnnn nn12log22 nnn 2 时, 1) 1(log) 1(lognnnn例例 5证明：由（是大于 2 的自然数）,21 22211 32111kkk得n3211 3211 211 111. 3213211211 121 21 21 21111132
10、 nnn例例 6证：记 m = cadd bdcc acbb dbaa a, b, c, dR+ 1cbadd badcc acbab dcbaam2cdd dcc bab baam1 , (1 b)c , (1 c)a ,41 41 41则三式相乘：ab 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾。xy1 yx110 证明：., 4 , 3 , 2,1 11 ) 1(112nkkkkkknnn) 1(1 321 211 111 31 21 112222=)1 11()31 21()21 11(11 nn=. 212n注意注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的21 31 21 112222n结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。nn1213121112222
