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1、课堂探究课堂探究1古典概型与几何概型的异同古典概型与几何概型的异同剖析：剖析：古典概型与几何概型都是概率类型的一种，它们的区别在于：古典概型的基本事件数为有限个，而几何概型的基本事件数为无限个；共同点在于：两个概型都必须具备等可能性，即每个结果发生的可能性都相等判断一次试验是否是古典概型，有两个标准来衡量：一是试验结果的有限性，二是试验结果的等可能性，如果这两个标准都符合，则这次试验是古典概型，否则不是古典概型；判断一次试验是否是几何概型有三个标准：一是试验结果的无限性，二是试验结果的等可能性，三是可以转化为求某个几何图形测度的问题如果一次试验符合这三个标准，则这次试验是几何概型这两种概率模型
2、的本质区别是试验结果的种数是否有限2基本事件的选取对概率的影响基本事件的选取对概率的影响剖析：剖析：先比较以下两道题：(1)在等腰 RtABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，求 AMAC 的概率(2)在等腰 RtABC 中，过直角顶点 C 在ACB 内部任作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求 AMAC 的概率这两道题虽然都是在等腰 RtABC 中求 AMAC 的概率，但题干明显不同，题目(1)是“在斜边 AB 上任取一点 M”，而题目(2)是“在ACB 内部任作一条射线 CM”，其解答分fYHe别如下：(1)在 AB 上截取 ACAC，于是 P(AMAC)P(AMAC).ACAB
3、ACAB22(2)在ACB 内的射线 CM 是均匀分布的，所以射线 CM 作在任何位置都是等可能的在 AB 上取 ACAC，则ACC是等腰三角形，且ACC67.5，故满足180452条件的概率为0.75.由此可见，背景相似的问题，当基本事件的选取不同，其概率是67.590不一样的题型一题型一 与与“长度长度”有关的几何概型有关的几何概型【例 1】 某公共汽车站每隔 15 min 有 1 辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求 1 个乘客到达车站后候车时间大于 10 min 的概率分析：分析：把时刻抽象为点，时间就抽象为线段，故可用几何概型求解解：解：设上一辆车于时刻 T1到达，而下一辆车于
4、时刻 T2到达，线段 T1T2的长度为 15，设 T 是线段 T1T2上的点，且 T1T=5，T2T=10.如图所示记候车时间大于 10 min 为事件A，则当乘客到达车站的时刻 t 落在线段 T1T 上时，事件 A 发生，设区域 D 的测度为 15，则区域 d 的测度为 5.所以.的测度51( )的测度133dP AD答：候车时间大于 10 min 的概率是.1 3反思反思 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生对应的区域 d.在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 A 的概
5、率.题型二题型二 与与“面积面积”有关的几何概型有关的几何概型【例 2】 甲、乙两人约定上午 7：00 到 8：00 之间到某个汽车站乘车，在这段时间内有 3 班公共汽车，开车的时刻分别为 7：20,7：40，8：00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙两人乘同一班车的概率为( )A. B. C. D.12141316解析：解析：设甲到达汽车站的时刻为 x，乙到达汽车站的时刻为 y，则 7x8,7y8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中是大正方形(如图所示)将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一辆车，必须满足7x7,7y7；7x7，7y7；7x8
6、,7y8，即(x，y)必须落在图形中1 31 31 32 31 32 32 32 3的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的概率计算公式得 P .(13)2 31213答案：答案：C反思反思 本题的关键首先要理解好题意，将其归结为面积型几何概型，而不是长度型几何概型另外一定要认真审题，根据题意画出图形本题中将甲、乙两人到达车站的时刻作为坐标，在坐标系中将汽车的到站时刻，甲、乙两人的到站时刻分别表示出来，就可以直观地发现它们之间的关系，找出两人乘同一辆车的区域，然后计算面积，代入公式求得结果.题型三题型三 与与“体积体积”有关的几何概型有关的几何概型【例 3】 已知正三棱锥 S-ABC 的底面
7、边长为 a，高为 h，在正三棱锥内取点 M，试求点 M 到底面的距离小于 的概率h2分析：分析：首先作出到底面距离等于 的截面，然后再求这个截面的面积，进而求出有关体h2积解：解：如图所示，在 SA，SB，SC 上取点 A1，B1，C1，使 A1，B1，C1分别为SA，SB，SC 的中点，则当点 M 位于面 ABC 和面 A1B1C1之间时，点 M 到底面的距离小于.2h设ABC 的面积为 S，由ABCA1B1C1，且相似比为 2，得A1B1C1的面积为.4S由题意，区域 D 的体积为区域 d 的体积为.1 3Sh1117 334238ShShShP=.7 8点 M 到底面的距离小于的概率为.
8、2 h7 8反思反思 解与体积有关的几何概型时要注意：(1)寻求区域 d 在区域 D 中的分界面，但要明确是否含分界面不影响概率大小(2)每个基本事件的发生是“等可能的”(3)概率的计算公式为：P(A).构成事件A的区域体积 试验的全部结果所构成的区域体积题型四题型四 与与“角度角度”有关的几何概型有关的几何概型【例 4】 已知半圆 O 的直径为 AB2R.(1)过 A 作弦 AM，求使弦 AMR 的概率；(2)过 A 作弦 AM，求使弦 AMR 的概率；(3)作平行于 AB 的弦 MN，求使弦 MNR 的概率；(4)作平行于 AB 的弦 MN，求使弦 MNR 的概率分析：分析：过 A 作弦应
9、理解为过 A 作射线 AM 交半圆于 M，作 AB 的平行弦 MN，可以理解为过垂直于 AB 的半径上的点作平行于 AB 的弦解：解：(1)如图所示，过点 A 作O 的切线 AE，作弦R.AM由平面几何知识，MAB60，MAE30，P(AMR)P(AMAM)P(EAMEAM) .EAM的大小EAB的大小309013(2)类似于(1)可求 P(AMR) .609023(3)如图所示，过点 O 作半径 OEAB，作弦 MNAB，交 OE 于点 E，且R.M连接 OM，则 OER，EERRR.32322 32P(MNR)P(MNMN).EEOE2 32(4)类似于(3)可求 P(MNR).OEOE3
10、2反思反思 (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率计算公式为 P(A).事件A构成区域的角度 试验的全部结果构成区域的角度(2)解决此类问题的关键是事件 A 在区域内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的.题型五题型五 利用随机模拟实验估计图形的面积利用随机模拟实验估计图形的面积【例 5】 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y22xx2与 x 轴围成的图形)的面积分析：分析：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，而后由几何概率进行面积估计解：解：(1)利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数，a1，b1.(2)经过平移和伸缩变换，a4a13，b3b1，得到一
11、组3,1，一组0,3上的均匀随机数(3)统计试验总次数 N 和落在阴影部分的点数 N1(满足条件 b22aa2的点(a，b)数)(4)计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值N1N(5)设阴影部分面积为 S，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为，S12.S12N1NS即为阴影部分面积的近似值12N1N反思反思 在解答本题的过程中，易出现将点(a，b)满足的条件误写为 b22aa2，导致NOCGq该种错误的原因是没有验证阴影部分的点(a，b)应满足的条件.题型六题型六 易错辨析易错辨析【例 6】 在 01 之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为 1 的线段分成三条，试求这三条线段能构
12、成三角形的概率错解：错解：因为，,xy1，所以 xy1.所以 P .1 ,2 1,xyxy 12(12，1)(0，1)12112错因分析：错因分析：错解误把长度作为几何度量当成本题的模型正解：正解：设三条线段的长度分别为 x，y,1xy，则Error!即Error!在平面上建立如图所示的直角坐标系，围成三角形区域 G，每对(x，y)对应着 G 内的点(x，y)，由题意知，每一个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型记事件 A=三条线段能构成三角形，则事件 A 发生当且仅当即1 1 1xyxy xx yy ， ， ，因此图中的阴影区域 g 就表示“三条线段能构成三角形”，即事件 A 发生当且仅1- +,2 1,2 1.2yxxy 当即因此图中的阴影区域 g 就表示“三角线段能构成三角形1, 1, 1,xyxy xx yy 1,2 1,2 1,2yxxy ，即事件 A 发生，容易求得 g 的面积为 ，G 的面积为 ，则 P(A) .1812g的面积G的面积14
