《广东省东莞市2015年11月高中数学竞赛决赛试题 word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省东莞市2015年11月高中数学竞赛决赛试题 word版含答案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015 年东莞市高中数学竞赛决赛试题满分：150 分，考试时间：2015 年 11 月 22 日上午 9：3011：30，不能使用计算器和涂改液。一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题卡的相应位置 ）1，若表示集合中元素的个数，则 NmmxxxAnn n,3,22|1 nAnA123AAAABCD 65432已知直线与直线互相垂直，则 01 yax01ayxaA0 B1 C D1 或113. 已知角的终边经过点，则的值是 ( 1, 2)P tan4A. B.C. D. 1 31 3334在数列中，且，则 n
2、a12a 21a 21nnnaaa1,2,n 2015aA. B. C. D. 10125. 半径为 R 的球的内部装有 4 个有相同半径 r 的小球，则小球半径 r 可能的最大值是A. B. C. D. 3 23R1 13RR262 5 25R6. 已知，令，则方程实数解的个数是 2,1f xx g xx 11,nnfxg f xfxg fx 20151fx A B C D 2014201520162017二、填空题（本大题共6 小题，每小题6 分，共36 分请把答案填在答题卡相应题的横线上）7分别写有数字 1，2，3，4 的 4 张卡片，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张
3、卡片上的数字之和为奇数的概率为 . 8某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为 .9设圆的半径为 ，圆心在（）上，若圆与圆C1: l1yx0x C229xy相交，则圆心的横坐标的取值范围为 . C10设满足约束条件 ，且目标函数的最大, x y13,10xxy )0( ayaxz值为 3，则的值为_ .a11设为实常数，是定义在 R 上的奇函数，当时，若a( )yf x0x 2 ( )97af xxxDCDBCA(P)A对一切都成立，则的取值范围为 。 ( )1f xa0x a12圆的半径为 ，为圆周上一点，现将如图放置的边长为 的正方形（实线所示 ，正方形的顶点O1P
4、1和点重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过APAPA的路径的长度为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.13.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）已知函数.231( )sin2cos22f xxx(1)求的单调递增区间；( )f x(2)设的内角，所对的边分别为，且，若ABCABCabc3c ( )0f C ，sin2sinBA 求，的值 ab14.14.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）设向量，其中，为实数2(2,3cos2 )a( ,sincos)2mbm=m（1）若时恒有
5、，求的取值范围；12abm（2）若，求的取值范围2abm1515 （本题满分（本题满分 1313 分）分）如图，在四棱锥中，平面PABCD1 2ADCDABABDCADCDPC .ABCD （1）求证：平面；BC PAC（2）若为线段的中点，且过三点的平面与交于点，求的值.MPA,C D MPBN:PN PB(第 15 题图)PABCDM16 （本题满分（本题满分 1313 分）分）若数列na的前n项和nS满足,等差数列 nb满足.*231 (N )nnSan113233babS，（1）求数列na、 nb的通项公式；（2）设(),且 nc的前n项和为nT，求证：.nnnnabbnc12nN41
6、nT17 （本题满分（本题满分 1414 分）分）如图（示意） ，公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 的角形耕地，其中在该块土地中2tanP 处有一小型建筑，经测量，它到公路 AM，AN 的距离分别为 3km，km现要过点 P 修建一条直线公5路 BC（点分别在射线上） ，将三条公路围成的三角形区域 ABC 建成一个工业园为尽量CB,ANAM,减少耕地占用，问如何确定 B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积:学_科_网 Z_X18 （本题满分（本题满分 1414 分）分）已知，函数0a 2( )52f xxxaa（1）若函数在上单调，求实数的取值范围；( )f x0,3a（2）
7、若存在实数，满足，.求当变化时，的取值范围.12,x x0)(21axax12()()f xf xa12xxAMNP（第 17 题图）CB2015 年东莞市高中数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题卡的相应位置 ）题号123456答案BAB C CD二、填空题（本大题共6 小题，每小题6 分，共36 分请把答案填在答题卡相应题的横线上）7 8 92 33327131 1,2210 2 11 128 7a 222三、解答题（本大题共 6 小题，共 78 分.解答应写出必要的文字
8、说明、证明过程或演算步骤.）13.13.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）解：(1) 231( )sin2cos22f xxx2 分31 cos21sin2222xxsin(2) 16x由， 3 分222262kxk得， 4 分63kxkkZ函数的单调递增区间为， 5 分( )f x,63kkkZ(2)由，得( )0f C sin(2)16C， 6 分0C112666C ， 7 分262C3C又，由正弦定理，得. 8 分sin2sinBA2ba由余弦定理，得，2222cos3cabab即 9 分223abab由解得，. 12 分1a 2b 14.14.（本小题满分（本小题满分 121
9、2 分）分）解：解：（1）时， ， 122312,224mabm， ， ab23120224mm整理得对一切均有解， 3 分215302448mmmR当时，得，符合题意，当时， 1 2m 2 1 2m ，22215331340448228mmmmm 解得，110110 6666m 的取值范围为. 6 分m110110 6666m （2），2ab， 2223cos22sincosmm， 9 分2224942sin(2)3mmm， 212494224mmm 所以. 12 分2222 6,1m mmm 1515 （本题满分（本题满分 1313 分）分）证明证明：（1）连结 AC不妨设 AD1因为 A
10、DCD AB，所以 CD1，AB212因为ADC90，所以 AC，CAB452在ABC 中，由余弦定理得 BC，所以 AC2BC2AB22所以 BCAC 3 分因为 PC平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 BCPC 因为 PC平面 PAC，AC平面 PAC，PCACC，所以 BC平面 PAC 7 分（2）如图，因为 ABDC，CD平面 CDMN，AB平面 CDMN，所以 AB平面 CDMN 9 分因为 AB平面 PAB，平面 PAB平面 CDMNMN，所以 ABMN 11 分在PAB 中，因为 M 为线段 PA 的中点，所以 N 为线段 PB 的中点，即 PN：PB 的值为 13 分12
11、16 （本题满分（本题满分 1313 分）分）解：（1）当1n 时,1 分11231Sa11a 当2n 时,即 3 分-1-122-2=3131nnnnnaSSaa（）-(）13nna a数列na是以为首项,3 为公比的等比数列,4 分11a 13nna设 nb的公差为,d5 分2, 3, 3231dSbb 6 分12 nbn(2)由(1)得8 分3)32(1 3) 12(143 3)32)(12(211nnnnnnnnncnnccccT32141 3)32(41 41)3)32(1 31(43)3)32(1 3) 12(1(43)391 371(43)371 351(43)351 131(4311322nnnnnnnn13 分 17 （本题满分（本题满分 1414 分）分）:学_科_网 Z解解：如图，以 A 为原点，AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系因为，故直线 AN 的方程是2tan2yx(A)xNPyOBC（第 16 题图）(第 1
