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1、关于几何图形的一些思考全国著名特级教师 俞正强 （F）（朱乐平名师工作站集中学习 2009.10.12 教育学院）一、 引言。（一）教师提问。俞：关于图形，我们已经思考了哪些问题？我们在思考什么问题？我们觉得什么问题比较值得我们讨论？罗：我们已经做了本体性知识的认识，我们组是研究长方形面积的。为什么长方形的面积是长乘宽？为什么导入面积的时候以算为主，不是以测量为主？也翻阅了大纲和课标。对图形学习的价值做一个回顾和认识？49 年开始到现在，教材变革来进行纵向横向，长方形的面积这一块学与教的评价？怎么样来建立一个评价体系？有怎么样的根据？怎么样来进行反馈？对整个教学、学生情况的反馈。对长方形学习整
2、个评价有两三节课。课堂的评价也包含在内。姜：我举个例子，图形的认识一般都分好几个阶段。第一阶段，一二年级的时候认识长方形。要把握到什么程度。学生在认识差异上会很大。那么应该把握到什么程度？后一阶段再一次来认识的时候应该把握到什么程度。现在比较强调新课标有四基，基本活动经验，基本思想方法，这个以前是比较忽视的。在前面会有很多时候这样的活动已经经历过了。但是这些经验没有提炼出来。思想方法没有纳入到后继学习的体系中去。后面的教学还是把它当做一种空白来教学。这种怎么来设计？这是我比较困惑的地方。俞：有同水平的反复。邢：研究的是角的初步认识。角的教学为什么分两段进行？两个阶段的教学目标应该如何区分和把握
3、？ 孙：图形本身不是作为知识单独存在，而是根据它的特征人为地把它抽象出来，图形和其他计算应该是相通的。教材体现就是一个单元一个单元。在这个单元的时候重点就是教图形，就图形论图形。事实上是不是在某一个极端的时候，比如后面综合练习的时候，要把计算和图形结合起来，数形结合能不能渗透进去。这样学生学到的知识就是综合的，能够学到能力的。具体怎么做不太清楚。邵：图形教学中的概念问题？内涵与外延是否需要非常明确地告诉孩子？童：长方形的表面积的教学目标定位在什么？就是教得越来越难，变化的题目越来越多，学生学得比较累，但是很多变式的题目出来，学生的理解就还不够。课堂上增加的内容会越来越多，想教给学生的东西很多。
4、俞：要学会知止。江：面积的概念当中，涉及到平面和曲面的，我们的教材对平面比较重视。我们对曲面在教学面积概念时，要不要把它明确地拉进来。学生在认识面积之初，就对于各种类型的图形的表面有所认识。（二）专家答疑。俞：我觉得我们大家也思考得比较深入，有知识本位的深入，有一个审视视角的深入。还有本人的实践观和学生接受的深入。各个触角都已经很深入了。关于教材的建设问题，而且很多问题，比如说为什么分两段，其实我们老师一直在研究的。我们老师在研究的过程当中，可以得出结论，分两段有什么好处，或者就直接一段有什么好处。我们最后可以研究，分一段好还是两段好。为什么越来越多，两个原因。一个怕教研员的要求越来越高，结果
5、教是教好了，考没考好。第二，小朋友学得比较快，我们想想这么多时间浪费了太可惜了，再给点做做。其实我们老师很容易犯这个错误。包括我们在家里面家长也犯这个错误。小朋友一开始很喜欢做作业的。做完了，结果看看这么快，怎么办呢？后来多长时间过去之后，小朋友发现如果我做完了始终被加作业，作业做不完了，干脆我就磨蹭时间没做完。包括很多家里练琴的琴童也一样，本来说好练一个小时，看看还不错的，那么再练一下，最后他就说我要上厕所。所以我们有时候在孩子这里也要知道要知止。我们很多时间不知道知止，会给我们带来很大的被动。所以在课堂教学中，我们的目标只要把握到基本到位，就可以了。这样可以留下空间。一直往前走，前面的空间
6、就没有了。因此，在孩子学面积时，要不要把曲面引进来。向这样我们的老师都可以拿出一个结论来。我认为，曲面可以引进来讲，讲到什么程度，或者我认为曲面可以不引进来讲。我们对这些问题，都是我们老师在研究当中的所得。 问题是研究的最大所得，分两段的问题，我这次研究发现分两段不好，分一段好。过了三年我又研究，发现分两段更好。那么这样，好像是发生变化了。但其实是我们的研究水平在提高。不要拘泥答案的结果，重要的是我要提出我的想法。那么学生在我们的想法当中也会有所进步。很多东西，两段有两段的好处，一段有一段的好处。关键是我们怎样体现它的好处。 前段时间我碰到一个问题，有关估算。估算的例子：12015 估算的结果
7、？四个答案2400、1500、1800、2000。这个老师把我不准。到底哪个答案是对的？然后我就问我们的老师你认为哪个答案是对的。我们的老师说好像都有道理。2400 怎么来的？把 15 当做 20，这个方法可不可以？完全可以。1500 怎么来的？把 120 当 100.对不对啊？1800怎么来的？算出来的。2000 怎么来的？120 当做 100，15 当做 20。那么你认为哪个是对哪个是错？这些结果都是符合估算方法的。都是正确的。我们的老师认为怎么会这样呢？总会有对错的。老师找来找去找了一个错的。1800。认为这个不是估算。这是精算啊。然后这个学生很不服气。他说：老师啊，我估算得很准啊。估得
8、很准是不是估算呢？这个例子拿出来什么意思呢？就是我们对结果不必太苛求。只要是过程当中有道理的都是对的。很多问题就是一个在两个选项的摇摆之间的时候，我们一定要避免一种思想，就是一定要选择一个。这种思想可能不是很适合我们来思考问题。我们选择谁，就把谁的好处拿出来，展现它的优点。 我们把这类非此即彼的问题拿下来之后，还有一类是比较注重系统的。如这个问题，怎样从图形到图形的计算，到问题解决，最后归到数形结合。这位老师把几何的教学子项指向了数。他觉得到那个归宿，而不是到形就结束了。我认为这是一个很有意思的东西。第二个呢，系统化。就是前面的学习，数学包括几何知识，很多东西都在重复。我们这里说的，初步认识，
9、再认识，比如分数的初步认识，认识之间差别在哪里？我们后面的学习是不是要借助于这个认识。不要在同水平的层次上重复。 图形的教学。空间和图形的可以拎一条主线。有一个主线我们都比较明白：点、线、面、体。这个主线我们通常说得是一维，二维到三维。从知识上看这个主线较为明显的。那么从教学上来看，我觉得我们也是需要抓主线的。 数与计数中有一个中枢神经，就是计数单位，它是所有数的计算中的核心。如 6，一年级的时候 6 是怎么来的？1，2，3，4，5，6，数数。数数的基本单位是 1。然后我们在讲数的组成的时候，6 是 2 和 4，1 和 5，3 和 3，这个都是在讲计数单位。一个 1 和五个 1 合起来是六个
10、1。3 个 1 和 3 个 1 合起来是六个 1。到了二年级,计数单位变成几了呢?变成 2 了。6 是 23，又是 32，又是 16，又是 61。所以就有这些选择。这时的计数单位就是 2，就是 3计数单位开始拓展。这个时候它的计数单位就 2 个 2个数，3 个 3 个数，这就成了乘法。乘法加上一个逆运算就是除法。加法加上一个逆运算就是减法。减法也是单位 1 的。此外，跟这两个一起的还有十，还有百。到了这个时候，我们发现任何一个数都可以做计数单位。四年级的时候，计数单位开始往小发展，是 0.1，0.01。6 是 60 个 0.1 相加，600 个 0.01 相加。五年级时分数单位可以是十分之一，
11、五分之一，二分之一。到了六年级分数单位就是百分之一。所有的计算都有一个内核的东西，所有的计算归根结底就是关于计数单位。等我们计算学完了之后，等小朋友发现计数单位很神奇，计数单位统统可以归到一个数，进数。到了这一个时候，计算就突然变得十分简单。就是关于计数单位的一个东西。那么学生对于计算的理解就非常到位了。 同样的，跟数与计算类似，在图形中也有一个内核，这个内核就是计量单位。在计量单位找出了之后，我们就能牵出一条图形教学的主线：计量单位计量单位的计数计量单位的计算计量单位的归整计量单位的联通。到这个地方为止，就是图形的教学，我们老师要把握住这样一条主线。我先对这条主线作一下解释。解释完了，我再在
12、每一个环节展开来，稍微讲一下。二、 图形教学的主线。 计量单位。在小学里，大部分计量单位都是在几何中的。几何计量单位有厘米，毫米，分米，米等长度的计量单位。重量的计量单位不在这里。时间的计量单位不在这里。除了重量的计量单位和时间的计量单位，还有角度的，还有面积的，还有体积的，还有容积的就是计量单位在图形了占了大头。计量单位是我们数学当中非常重要的一个知识点。这个知识点我觉得在数学里占的比例还是相当大的。 计量单位的计数。计量单位的计数就是有几个厘米，几个平方厘米，几个立方厘米。它其实是一个度量的问题。当我们掌握了单位之后，就要用这个单位来进行度量。这就是度量。度量一定要基于一种工具。 计量单位
13、的计算。在度量当中，我们发展出一种计量单位的计算，与一般的计算相同。度量发展了之后就变成了一种简单的计算。计算有周长的计算，有面积的计算，有体积的计算。所以从单位，到单位的计量，到单位的计算。 计量单位的归整。计量单位的归整就是指当一个单位被分割了之后，怎样使这个单位恢复成一个完整的单位。比方说，这里一个有几个单位啊？两个单位。但这两个单位是这样分割的，是不完整的。那么怎么办呢？我们就有一种单位的归整。就是要把这个单位变完整。于是就把这一块东西割下来补上去。然后这里就是一个单位。因为单位始终是完整的。那么延伸出的这一个东西就具有推论性质的。它是整一个半，或一个半整。因为我们要归整，所以我们想了
14、许多办法。这是计量单位的归整。 计量单位的联通。比方说，我们在小学里，一二年级的时候，1 就是一个某种对象，10 就是 10 个某种对象。还有 100其实从计量单位来讲，1 是最深奥的计量单位。但我们在较大数认识的时候，已经把它当成计数单位的模型在体验了。其实小朋友在那个时候没有说这个是计量单位，这个是计数单位的。都没有。小朋友就是把它，看见了，这个是 1，那个是 10。当我们告诉他重新来回味的时候，小朋友才发现这就是 1，这就是 10，这就是 100，那就是 1000。这就是一种联通。这是联通的一种方式。最后，我们要他明白出来。小朋友一直在体验，最后要他回过头去，要他理解原来我们是在搞同样的
15、东西，它就是 1。1 就是它。这样，计量单位和计数单位最后就连结起来。也就是这位老师说的数形结合。一年级的时候来讲数形结合，不行的。要小朋友一直在接触，最后才能发现。第二种联通方式就是计量单位的泛化。比如说 5：6，我们可以将 6 看做一个单位。反过来 6：5，我们把 5 可以看做一个单位。这就使我们说的分数当中的单位 1。单位 1 就是一个单位。最后抽象出一个单位来。学生对单位的理解是十分困难的，单位是一种关系。比如说，每行坐 20 个人，可以坐 15 行。每行 30 个人，可以坐 10 行。就变成两个三角形。这也是一种联通。这一条主线使得整个图形教学的结构很严密。产生比较好的教学结果。在主
16、线当中都有一个“计量单位”，最后归整到单位。举例：三节课。第一节课：厘米的认识。一个童趣的情景，小松鼠的三拃与熊伯伯的三拃比较，引发学习长度单位的必要性。第二节课：角度。角的大小需要度量。先选一个标准角。比如三角板的 45 度。给定角度，寻找一个比他更小的角度。第三节课：关于长方形面积。比较两个长方形面积的过程，叠起来进行比较。体验单位的必要性。几乎都是从单位的需要出发，比较长短，怎么办啊？比较大小，怎么办啊？其实它们都在讲一个计量单位。计量单位到底是什么？小朋友理解了吗？所以我就想这几节课是不是重新换一下。我设计了这么一个思路。计量单位因为和计数单位一样是小学数学里要培养的一个很重要的数学知识点。什么是计量单位？或者计量单位是什么？很难理解。很多小朋友学到最后还是很模糊。所以我想要像计数单
