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1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 第三课时 正弦定理、余弦定理（一） 高二数学组 徐磊 教学目标： 进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断 三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁 作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化 而内在实质的不变性. 教学重点： 利用正、余弦定理进行边角互换. 教学难点： 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向； 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. 教学过程： .复习回顾 前面两节课，我们一起
2、学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定 理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理 实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将 通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的 应用. .讲授新课 例 1已知ABC，BD为B的平分线，求证：ABBCADDC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它 的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角
3、形内边的比等于 所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为 ，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相 AB sinADB AD sinABD BC sinBDC DC sinDBC 等即可证明结论. 证明：在ABD内，利用正弦定理得： ，即 AB sinADB AD sinABD AB AD sinADB sinABD 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 在BCD内，利用正弦定理得： ，即. BC sinBDC DC sinDBC BC DC sinBDC sinDBC BD是B的平分线.ABDDBC， sinABDsinDBC. ADBBDC180
4、，sinADBsin（180BDC）sinBDC ， AB AD sinADB sinABD sinBDC sinDBC BC DC AB BC AD DC 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的 正弦值相等这一特殊关系式的应用. 例 2在ABC中，求证：a2sin2Bb2sin2A2absinC 分析：此题所证结论包含关于ABC的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角 的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化 为角的关系，一般是通过正弦定理. 另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如 sin2B2si
5、nBcosB等，以 便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形. 证明一：（化为三角函数） a2sin2Bb2sin2A （2RsinA）22sinBcosB（2RsinB）22sinAcosA 8R2sinAsinB（sinAcosBcosAsinB）8R2sinAsinBsinC 22RsinA2RsinBsinC2absinC 所以原式得证. 证明二：（化为边的式子） 左边a22sinBcosBb22sinAcosA a2b2 2b k a2c2b2 2ac 2a k b2c2a2 2bc （a2c2b2b2c2a2） ab kc 2c22ab 2absinC ab kc c k 评述：
6、由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式： a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用， 在此题用到了正弦二倍角公式 sin2A2sinAcosA，正弦两角和公式 sin（AB） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - sinAcosBcosAsinB；由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二. 三角形的有关证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来看， 这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题. 例 3已知A、B、C是ABC的三个内角，且满足（sinAsinB） 2sin2C3
7、sinAsinB 求证：AB120 分析：要证AB120，由于ABC180，只要证明C60，而已知条件为三 角函数关系，故应考虑向三角函数的转化，又在 0180之间，余弦值所对应角唯一，故 可证明 cosC ，而由余弦定理 cosC，所以应考虑把已知的角的关系式转化为 1 2 a2b2c2 2ab 边的关系. 证明：由（sinAsinB）2sin2C3sinAsinB 可得 sin2Asin2Bsin2CsinAsinB 又sinA ，sinB ，sinC ， a k b k c k a2 k2 b2 k2 c2 k2 a k b k 整理得a2b2c2ab cosC a2b2c2 2ab 1
8、 2 又 0C180，C60 AB180C120 评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦. 但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围； （2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式： a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，这一转化技巧，要求学生熟练掌握. 例 4在ABC中，bcosAacosB，试判断三角形的形状. 分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的 运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行 分析. 解法一：利用余弦定理将角化为边. b
9、cosAacosB 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - ba b2c2a2 2bc a2c2b2 2ac b2c2a2a2c2b2 a2b2 ab 故此三角形是等腰三角形. 解法二：利用正弦定理将边转化为角. bcosAacosB 又b2RsinB，a2RsinA 2RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB0 sin（AB）0 0A，B，AB AB0，即AB 故此三角形是等腰三角形. 评述：（1）在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代 数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路
10、.通常是运 用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁正、余弦定理； （2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角 时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式 sinBcosAsinAcosB两端同除以 sinAsinB得 cotAcotB，再由 0A，B，而得AB. 为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习. .课堂练习 1.在ABC中，证明下列各式： （1） （a2b2c2）tanA（a2b2c2）tanB0 （2）. cos2A a2 cos2B b2 1 a2 1 b2 证明：（1）左边（a2b2c2）（a2b2c2） s
11、inA cosA sinB cosB （a2b2c2） （a2b2c2） a k 2bc b2c2a2 b k 2ac a2c2b2 2abc k （b2c2a2） b2c2a2 a2c2b2 a2c2b2 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - （11）0右边 2abc k 故原命题得证. （2）左边（） 12sin2A a2 12sin2B b2 1 a2 1 b2 2sin2A k2 sin2A 2sin2B k2 sin2B 右边 1 a2 1 b2 2 k2 2 k2 1 a2 1 b2 故原命题得证. 评述：（1）在（1）题证明时应注意两点：一是切化弦的
12、思路，二是结合正、余弦定理 将角的关系转化为边的关系； （2） （2）题证明过程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三种形式 cos2Acos2Asin2A2cos2A112sin2A，由于考虑到等式右端为边的关系，故选用第 三种形式，在转化为边的关系时较为简便. 2.在ABC中，已知 sinBsinCcos2，试判断此三角形的类型. A 2 解：sinBsinCcos2，sinBsinC A 2 1cosA 2 2sinBsinC1cos180（BC） 将 cos（BC）cosBcosCsinBsinC代入上式得 cosBcosCsinBsinC1 cos（BC）1 又 0B，C，BC BC
13、0，BC 故此三角形是等腰三角形. 评述：（1）此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式 cosA2cos21 的逆用，要求 A 2 学生注意； （2）由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数 式的恒等变形. .课时小结 通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、 余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断.其中，要求大家重点体会正、 余弦定理的边角转换功能. .课后作业 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 补充作业： 1.在ABC中，已知，求证：2b2a2c2. sinA sinC sin（AB） sin（BC） 证明：由已知得 sin（BC）sin（BC）sin（AB）sin（AB） cos2Bcos2Ccos2Acos2B 2cos2Bcos2Acos2C 2 1cos2B 2
