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1、2015 年北京市高考数学试卷（理科）年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1 （5 分） （2015北京）复数 i（2i）=（ ）A1+2iB12iC1+2iD12i2 （5 分） （2015北京）若 x，y 满足，则 z=x+2y 的最大值为（ ）A0B1CD23 （5 分） （2015北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）4 （5 分） （2015北京）设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m， “m“是“”的（ ）21 世纪教育网版权所有A充分而不必要条件B必要而不充
2、分条件C充分不要条件D既不充分也不必要条件5 （5 分） （2015北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A2+B4+C2+2D56 （5 分） （2015北京）设an是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A若 a1+a20，则 a2+a30B若 a1+a30，则若 a1+a20，C若若 0a1a2，则 a2D若 a 10，则（a2a1） （a2a3）07 （5 分） （2015北京）如图，函数 f（x）的图象为折线 ACB，则不等式 f（x）log2（x+1）的解集是（ ）21 教育网Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x28 （5 分） （2015北京）汽车的“燃
3、油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分）9 （5 分） （2015北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为 （用数字作答）10 （5 分） （2015北京）已知双曲线y2=1（a0）的一条渐近线为x
4、+y=0，则 a= 21世纪*教育网11 （5 分） （2015北京）在极坐标系中，点（2，）到直线 （cos+sin）=6 的距离为 www-2-1-cnjy-com12 （5 分） （2015北京）在ABC 中，a=4，b=5，c=6，则= 13 （5 分） （2015北京）在ABC 中，点 M，N 满足=2，=，若=x+y，则 x= ，y= 2-1-c-n-j-y14 （5 分） （2015北京）设函数 f（x）=，若 a=1，则 f（x）的最小值为 ； 若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 80 分）分）15 （13
5、 分） （2015北京）已知函数 f（x）=sin cos sin（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间，0上的最小值16 （13 分） （2015北京）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单 位：天）记录如下： 21*cnjy*com A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组；12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于 14 天的概率； （）如果 a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （）当 a
6、为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17 （14 分） （2015北京）如图，在四棱锥 AEFCB 中，AEF 为等边三角形，平面 AEF平面 EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O 为 EF 的中点 （）求证：AOBE（）求二面角 FAEB 的余弦值；（）若 BE平面 AOC，求 a 的值18 （13 分） （2015北京）已知函数 f（x）=ln，（）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（）求证，当 x（0，1）时，f（x）；（）设实数 k 使得 f（x）对 x（0，1）恒成立，求 k 的最大值19 （14 分）
7、（2015北京）已知椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，点P（0，1）和点 A（m，n） （m0）都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M （）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m，n 表示） ； （）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否 存在点 Q，使得OQM=ONQ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由20 （13 分） （2015北京）已知数列an满足：a1N*，a136，且 an+1=（n=1，2，） ，记集合 M=an|nN*（）若 a1=6，写出集合 M 的所有元素；（）如集合 M 存在一个
8、元素是 3 的倍数，证明：M 的所有元素都是 3 的倍数； （）求集合 M 的元素个数的最大值2015 年北京市高考数学试卷（理科）年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1 （5 分） （2015北京）复数 i（2i）=（ ）A1+2iB12iC1+2iD12i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则解答解答：解：原式=2ii2=2i（1）=1+2i；故选：A 点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则注意 i2=12 （5 分） （2015北京）若 x，
9、y 满足，则 z=x+2y 的最大值为（ ）A0B1CD2考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 z=x+2y 对应的直线进行平移，即 可求出 z 取得最大值 解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得 A（ ， ） ，目标函数 z=x+2y，将直线 z=x+2y 进行平移，当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值z最大值=故选：C点评： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不 等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题3 （5 分）
10、（2015北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x，y，k 的值，当 k=3 时满足条件k3，退出循环，输出（4，0） 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 x=1，y=1，k=0 s=0，i=2 x=0，y=2，k=1不满足条件 k3，s=2，i=2，x=2，y=2，k=2不满足条件 k3，s=4，i=0，x=4，y=0，k=3满足条件 k3，退出循环，输出（4，0） ，故选：B 点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到
11、的 x，y，k 的值是解 题的关键，属于基础题4 （5 分） （2015北京）设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m， “m“是“”的（ ）21cnjyA充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分不要条件D既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： m 并得不到 ，根据面面平行的判定定理，只有 内的两相交直线都平行于 ，而 ，并且 m，显然能得到 m，这样即可找出正确选项 解答： 解：m，m 得不到 ，因为 ， 可能相交，只要 m 和 ， 的交线平行即可 得到 m； ，m，m 和 没有公共点，m，即 能得到 m； “m”是“”的必要不充分条件 故选
12、B 点评： 考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定 理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念5 （5 分） （2015北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A2+B4+C2+2D5考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 根据三视图可判断直观图为：A面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点， EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC面 AEO，AC=，OE= 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积 解答： 解：根据三视图可判断直观图为： OA面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点， EA=2，EC
13、=EB=1，OA=1， 可得 AEBC，BCOA， 运用直线平面的垂直得出：BC面 AEO，AC=，OE=SABC=22=2，SOAC=SOAB=1=SBCO=2=故该三棱锥的表面积是 2， 故选：C点评： 本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直 观图，得出几何体的性质6 （5 分） （2015北京）设an是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A若 a1+a20，则 a2+a30B若 a1+a30，则若 a1+a20，C若若 0a1a2，则 a2D若 a 10，则（a2a1） （a2a3）0考点： 等差数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 对选项分
14、别进行判断，即可得出结论解答： 解：若 a1+a20，则 2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 A 不正 确；若 a1+a20，则 2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 B 不正确；an是等差数列，0a1a2，2a2=a1+a32，a2，即 C 正确；若 a10，则（a2a1） （a2a3）=d20，即 D 不正确故选：C 点评： 本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础7 （5 分） （2015北京）如图，函数 f（x）的图象为折线 ACB，则不等式 f（x）log2（x+1）的解集是（ ）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2考点： 指、对数不等式的解法专题： 不等式的解法及应用分析： 在已知坐标系内作出 y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集解答： 解：由已知 f（x）的图象，在此坐标系内作出 y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式 f（x）log2（x+1）的 x 范围是1x1；所以不等式 f（x）log2（x+1）的解集是x|1x1；故选 C 点评： 本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移8 （5 分） （2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃
