《山东省泰安市肥城市第三中学数学高中人教a版学案选修2-2：变化率问题与导数的概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省泰安市肥城市第三中学数学高中人教a版学案选修2-2：变化率问题与导数的概念（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习内容 学习指导 即时感悟 【学习目标】 1理解平均变化率与导数的概念；了解平均变化率的几何意义、瞬时速度、瞬 时变化率的概念；会求函数在某点处附近的平均变化率及导数。 2.用探究的方法由平均变化率探求瞬时变化率，推出导数的概念，理解导数的 内涵。 3.培养学生科学严谨的探索精神。 【学习重点】平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；导数的概 念。 【学习难点】平均变化率的概念、导数的概念。 【预习新知】 1、对于函数 yf x，当自变量x从 1 x变到 2 x时，函数值从 1 f x变到 2 f x，则称式子为 yf x从 1 x到 2 x的平均变化率，简记 12 12 )()(
2、xx xfxf 作：。 x y 2、函数 xfy 的平均变化率的几何意义是指函数 xfy 图象上两点 111 ,xfxP、 222 ,xfxP连线的 斜率 3、函数 yf x在 0 xx处的瞬时变化率是函数 f x从 0 x到 0 xx的平 均变化率在0x 时的极限，即 0 lim x y x 。 x xfxxf x )()( lim 00 0 4、函数 yf x在 0 xx处的瞬时变化率称为函数 yf x在 0 xx处的导 数，记作，即 0 0 lim x y fx x )( 0 x f x xfxxf x )()( lim 00 0 5、总结求导数的步骤： 一差二比三极限 【自主合作探究】
3、 一、引入 导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小） 值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变 量相对于另一个变量变化的快慢程度 二、问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? （1）当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了)(62 . 0 )0() 1 (dmrr 气球的平均膨胀率为)/(62 . 0 01 )0() 1 ( Ldm rr （2）当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了)(16 . 0 ) 1
4、 ()2(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(16 . 0 12 ) 1 ()2( Ldm rr 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段 内的平均速度粗略地描述其运动状态?v 思考计算： 在这段时间里，=5 . 00 tv)/(05 . 4 05 . 0 )0()5 . 0( sm rh 在这段时间里，=21 tv)/(2 . 8 12 ) 1 ()2( sm rh 三、平均变化率概念: 1上
5、述问题中的变化率可用式子表示, 称为函数f(x)从x1到 12 12 )()( xx xfxf x2的平均变化率 2若设, (这里看作是对于x1的一个 12 xxx)()( 12 xfxffx “增量”可用x1+代替x2,同样)x)()( 12 xfxfyf 则平均变化率为 x f x y x xfxxf xx xfxf )()()()( 11 12 12 探究 1：观察函数f(x)的图象平均变化率 表 x f 12 12 )()( xx xfxf 示的几何意义是什么? 直线的斜率 探究 2：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49 65 0 t 运动员在这段时间内使静止的吗
6、？否 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 不能刻画在某一时刻的速度 3.瞬时速度 定义：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 思考（课本 P5 观察）：当t趋近于 0 时，平均速度v有什 么样的变化趋势？ 4.导数的概念 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: x y x0 lim x xfxxf x )()( lim 00 0 我们称它为函数( )yf x在 0 xx出的导数，记作 0 ()fx或 0 |x xy ，即 0 0 lim x y fx x x xfxxf x )()( lim 00 0 三典例分析 例 1已知函数f(x)=的图象上的两点 xx 2 )2, 1
7、(A ,则)2,1(yxB x y 3x 例 2求函数 f(x)=xx 2 在1x 附近的平均变化率，并求出在该点处的 导数 解：3)3(lim) 1( 0 xf x 例 3 （课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原 油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C ）为 2 ( )715(08)f xxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变 化率，并说明它们的意义 解：见课本 P6 解答。 小结：利用导数的定义求导，步骤为： 一差二比三极限 【当堂达标】 1.设函数 xfy ，当自变量x由 0 x改变到xx 0 时，函数的改变量 y（D） A.xxf 0
8、 B. xxf 0 C. xxf 0 D. 00 xfxxf 2.一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么 0 lim t s t 为 （B） A从时间t到tt时，物体的平均速度； B在t时刻时该物体的瞬时速度； C当时间为t时物体的速度； D从时间t到tt时物体的平均速度 3质点运动规律为3 2 ts，质点在3t 的瞬时速度为 6 【反思提升】 【作业】已知函数 2 f xaxc，且 12 f ，求a的值。a=1 【拓展延伸】 1. 在曲线1 2 xy的图象上取一点（1,2）及附近一点yx2 ,1，则 x y 为（ C ） A.2 1 x x B. 2 1 x x C.2x D. x x 1 2
