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1、120132013 年高考文科数学真题及答案全国卷年高考文科数学真题及答案全国卷 1 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的的1(2013 课标全国，文 1)已知集合A1,2,3,4，Bx|xn2，nA，则AB( )A1,4 B2,3 C9,16 D1,2【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。【解析
2、】Bx|xn2，nA1,4,9,16，AB1,42(2013 课标全国，文 2)( )212i 1 i A. B C D- 1 -1211+i21 +121 12【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。【解析】.212i12i12i i2i 1 i2i22 11+i23(2013 课标全国，文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )A B C D1 21 31 41 6 【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。【解析】由题意知总事件数为 6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,
3、4)，(3,4)，满足条件的事件数是 2，所以所求的概率为.1 34(2013 课标全国，文 4)已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方2222=1xy ab5 2程为( )A B C D =14 =131 2yx = 【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。2【解析】，即.5 2e 5 2c a225 4c ac2a2b2，.221 4b a1 2b a双曲线的渐近线方程为，byxa 渐近线方程为.故选 C.1 2yx 5(2013 课标全国，文 5)已知命题p：xR,R,2x3x；命题q：xR R，x31x2，则下列命题中为真命题的是( )Apq Bpq
4、Cpq Dpq 【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。【解析】由 2030知，p为假命题令h(x)x31x2，h(0)10，h(1)10，x31x20 在(0,1)内有解xR R，x31x2，即命题q为真命题由此可知只有pq为真命题故选 B.6(2013 课标全国，文 6)设首项为 1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则( )2 3A B C D= 2 1= 3 2= 4 3= 3 2【答案】D【考点】本题主要考查等比数列前 n 项和公式。【解析】32an，故选 D.112113 21113nnn naaa qaqSqq 7(2013 课标全国，文 7)执行下面的程序框图
5、，如果输入的t1,3，则输出的s属于( )A3,4 B5,2C4,3 D2,5【答案】A【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。【解析】当1t1 时，s3t，则s3,3)当 1t3 时，s4tt2.该函数的对称轴为t2，该函数在1,2上单调递增，在2,3上单调递减smax4，smin3.3s3,4综上知s3,4故选 A.8(2013 课标全国，文 8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2的焦点，P为C上一点，若|PF|4 2x，则POF的面积为( )4 2A2 B C D42 22 3 【答案】C【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。【解析】利用|P
6、F|，可得xP.24 2Px 3 2yP.SPOF|OF|yP|.2 61 22 3故选 C.9(2013 课标全国，文 9)函数f(x)(1cos x)sin x在，的图像大致为( )【答案】C 【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。【解析】由f(x)(1cos x)sin x知其为奇函数可排除 B当x时，f(x)0，排除 A.0,2当x(0，)时，f(x)sin2xcos x(1cos x)2cos2xcos x1.令f(x)0，得.23x 故极值点为，可排除 D，故选 C.23x 10(2013 课标全国，文 10)已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,
7、23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b( )A10 B9 C8 D5【答案】D【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。【解析】由 23cos2Acos 2A0，得 cos2A.A，cos A.1 250,21 5cos A，b5 或(舍)23649 2 6b b 13 5b 故选 D.11(2013 课标全国，文 11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A168 B884C1616 D816 【答案】A【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体V半圆柱2248，1 2 V长方体
8、42216. 所以所求体积为 168.故选 A.12(2013 课标全国，文 12)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是( 22 ,0,ln(1),0.xx xxx ) A(，0 B(，1 C2,1 D2,0 【答案】D【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。【解析】可画出|f(x)|的图象如图所示当a0 时，yax与y|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C；当a0 时，若x0，则|f(x)|ax恒成立若x0，则以yax与y|x22x|相切为界限，由得x2(a2)x0.2, 2 ,yax yxx (a2)20，a2. a
9、2,0故选 D.第第卷（选择题卷（选择题 共共 90 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分13(2013 课标全国，文 13)已知两个单位向量a a，b b的夹角为 60，c cta a(1t)b b.若b bc c0，则t_.【答案】2【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。【解析】b bc c0，|a a|b b|1， a a，b b60，a ab b.111 122 b bc cta a(1t)b bb b0， 即ta ab b(1t)b b20.1t0.1 2tt2.14(2013 课标全国，文 14)设x，y满足约束条件5
10、则z2xy的最大值为_13, 10,x xy 【答案】3【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。【解析】画出可行域如图所示画出直线 2xy0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z2333.15(2013 课标全国，文 15)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为 ，则球O的表面积为_【答案】92【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。【解析】如图，设球O的半径为R，则AH，2 3ROH.3R又EH2，EH1.在 RtOEH中，R2，R2.2 2+13R9 8S球4R2.9 2 16(2013 课标全国，文 16)设当
11、x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则 cos _.【答案】2 5 5【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。【解析】f(x)sin x2cos xsin(x)，5其中 sin ，cos .2 5 55 5当x2k(kZ Z)时，f(x)取最大值 2即2k(kZ Z)，2k(kZ Z) 2 2cos sin .cos22 5 5三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；6(2)求数列的前
12、n项和21211nnaa【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。【解析】(1)设an的公差为d，则Sn.1(1) 2n nnad由已知可得31 + 3 = 0 51 + 10 = 5?解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，21211nnaa1111 321 22 2321nnnn 从而数列的前n项和为21211nnaa 1111111 211132321nn .12n n18(2013 课标全国，文 18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药，B 药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B
13、药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。【解析】(1)设 A 药观测数据的平均数为，B 药观测数据的平均数为.xy由观测结果可得7(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.6
