《山东省泰安市肥城市第三中学数学高中人教a版学案选修2-2：教案定积分及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省泰安市肥城市第三中学数学高中人教a版学案选修2-2：教案定积分及其应用（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 学习内容学习内容 学习指学习指 导即时导即时 感悟感悟 学习目标： 1. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的 概念。 2. 了解微积分基本定理。 3. 加强数形结合，化归思想的应用。 学习重点: 定积分的几何意义、基本性质、微积分基本定理。 学习难点：利用定积分求平面区域围成的面积 学习方法：学习方法：自主合作探究 学习 方向 学习过程：学习过程： 引入引入：本部分主要有两种题型：一是定积分的计算，二是用定积分求平面 图形的面积。高考中，多以选择题或填空题的形式考查，属于低档题。 一、知识梳理：一、知识梳理： 1 定积分： （1）定积分的概念：一般地，设函数在区间上连续
2、，用分点( )f x , a b ，将区间等分成 n 个小区 xa 0 , a b 间，在每个小区间上任取一点，作和式： ii xx, 1 ni i , 2 , 1 si 。当时，上式越近于一个 常数 。这个 1 ( ). n ii i fx n 常数叫做函数在区间上的定积分，记作f(x)dx。即f(x)( )f x , a b dx。其中称为 被积函数 ，称为 )( 1 lim i n in f n ab )(xfdxxf)( 被积式 ，称为 积分变量 ，称为积分区间，分别x,baba, 称为 积分上限 和 积分下限 。 2 定积分的几何意义： 自我 完成 了解 新知 y = f ( x )
3、 y = f( x) O 若，则积分表示如图所示的曲边 0)(xf b a dxxf)( 梯形的面积，即Sdxxf b a )( 若，则积分表示如图所示的曲边 0)(xf b a dxxf)( 梯形面积的负值，即Sdxxf b a )( 一般情况下，定积分表示介于 x 轴、曲线 b a dxxf)( ( )f x 及之间的曲边梯形面积的代数和，其中在 x 轴上方的面积等于bxax , 该区间上的积分值，在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值的相反数， 3 定积分的性质。 （） k 。 （） b a dxxkf)( b a dxxf)( dxxfxf b a )()( 21 。 （） 。dxx
4、f b a )( 4 微积分基本定理： 一般地，若 f(x)为在上的连续函数，且有，那么ba,)()(xfxF ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿莱 b a dxxf)( 布尼兹公式，可记作 = 。 b a dxxf)( 常见求定积分的公式 （1）（2）（C 为常数） 1 1 | (1) 1 bnnb aa x dxxn n | bb aa cdxcx （3）（4）sincos| bb aa xdxx cossin| bb aa xdxx （5）（6） 1 ln| (0) bb aa dxxba x | bxx b aa e dxe （7）| (01) ln x bxb aa a a dx
5、aa a 且 得到 知识 二、基础自测： 1.根据定积分定义， （ D ） 3 2 0 x dx A. B. C. D. 2 1 11 () n i i nn A 2 1 11 lim() n x i i nn A 2 31 lim() n i nn A 2 1 33 lim() n n i i nn A 2. 已知自由落体的速度为，则落体从到所走过的路程为 vgt0t 0 tt （ C ） A. B. C. D. 2 0 1 3 gt 2 0 gt 2 0 1 2 gt 2 0 1 4 gt 3. 由所围成的平面图形的面积为 ln2 。 1 ,2,0yxy x 4.若则 -2 . , 1 1
6、 0 dxxf , 1 2 0 dxxf dxxf 2 1 5. 1 。 1 1 x 6. 求下列定积分的值： (1) (2) (3)dxxx 1 4 1 dxxx 2 0 sin3 dx x e x 2 1 2 解答：（1）- （2） 2 （3）e2-2ln2-e 6 17 8 3 答案： -+2 3 4 12 5 2l 4 n 四精讲点拨：四精讲点拨： 例 1：计算下列定积分： （1） （2） 。（3） dxx 4 0 2 sin dx x e x 2 1 2 1 dxx 2 1 23 答案：（1） （2）e4+ln2-e2 (3) 4 1 8 2 1 2 1 2 1 例 2 利用定积分求
7、图形的面积： 求由抛物线直线 x=2，y=0 围成的图形的面积。, 1 2 xy 答案： 3 4 例 3：定积分在物理中的应用。 列车以 72km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度 a=-0.4m/s2,问列车 应在进站前多长时间，及离车站多远时开始制动？ 解：已知列车速度 v0=72km/h=20m/s，列车制动时获得加速度 a=- 0.4m/s2， 设列车由开始制动到经过 ts 后的速度为 v， 则 v=v0+at=20-0.4t， 令 v=0，得 t=50（s） ， 设列车由开始制动到停止时所走的路程为 s， 则 所以列车应在进站前 50s，离车站 500m 处开始制动 当堂达标：
8、当堂达标： 1、 （07 海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面 1 2 e x y 2 (4e )， 积为（ D ） 2 9 e 2 2 4e 2 2e 2 e 2、由直线轴所围成的图形的面积为 x 1 y, 2, 2 1 及曲线 x xx （ D ） A. 15/4 B. 17/4 C. ln2/2 D.2ln2 3、设函数，若则= 1 0 2 acaxxf , 1 0 , 00 0 xxfdxxf 0 x 。 4、= dxx 2 0 2 4 5、求下列定积分 （1）（3） 32 2 2 11 1 (321);(2);xxdxdx x 1 22 2 0 2 (sincos );(4)
9、. x xx dxe dx 答案：（1）24 （2） （3） +2 （4）（e2-1） 2 1 2 2 1 总结提升：总结提升：这节课学到了哪些知识？ 拓展延伸：拓展延伸： 1.计算下列定积分： （1）； （2）. 2 2 cossin xx 2 1 4 2 1 x x 答案：（1） 2 （2） 8 21 2.函数的图像与 x 轴所围成的图形的面积为 20cos )01(1 xx xx xf sin2- 2 5 3.已知 f(x)是偶函数，且 16 。 dxxfdxxf 66 0 6, 8 则 4.已知,当= 0 或-1 时, .恒成立 2 21, 2,2 ( ) 1,(2,4 xx f x
10、xx k 3 40 ( ) 3 k f x dx 5设有一长 25cm 的弹簧，若加以 100N 的力，则弹簧伸长到 30cm，求使 弹簧由 25cm 伸长到 40cm 所做的功. 答案：22.5 焦耳 6.在曲线上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及x轴所围的0 2 xxy 面积为 12 1 ，试求：（1）切点 A 的坐标；（2）在切点 A 的切线方程. 解析：设切点 A 的在第一象限坐标为 A（a，b）,则 b=a。 y=2x 过点 A 的切线方程为 y=2a(x-a)+b. 曲线 y=x与切线以及 x 轴所围的面积 S=（0，b）dy =|（0，b） =b/(4a)+(2a-b)b/(2a)-2(b)/3 =a/12. S=1/12 a=1，b=1.=y=2(x-1)+1.=y=2x-1. 切点 A 的坐标是（1，1） ，过切点 A 的切线方程是 y=2x-1. 由 y=x的对称性，同理可求得 自我 达标 另一个 A 的坐标点是（-1，1） ，过切点 A 的切线方程是 y=-2x-1. 7.求由曲线围城的图形的面积。xyxy2,3 2 解析：曲线 y=3-x2 与直线 y=2x 的交点为(-3,-6),(1,2). S=(3-x2-2x)dx =(3x-x3/3-x2)| =32/3. 课下 检验
