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1、第三节 导数的应用(二)考点一利用导数解决生活中的优化问题 例 1 (2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元( 为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大自主解答 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为160r2元，所
2、以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得 200rh160r212 000，所以 h(3004r2)，从而 V(r)r2h (300r4r3)由 h0，且 r0 可得15r500，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5)时，V(r)0；当30时，f(x)0.2a1a所以 f(x)的单调递减区间为(，0，；2a1a，)单调递增区间为.0，2a1a若 a ，则 f(x) x2ex0，所以 f(x)的单调递减区间为(，)1212若 a0 时，f(x)0.2a1a所以 f(x)的单调递减区间为，0，)；(，2a1a单调递增区间为.2a1a，0(3)a1 时，f(x)(x2x
3、1)ex， 由(2)知，f(x)(x2x1)ex在(，1上单调递减，在1,0上单调递增，在 0，)上单调递减所以 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1) ，在 x0 处取得极大值 f(0)1.3e由 g(x) x3 x2m，得 g(x)x2x.1312当 x0 时，g(x)0；当10 时，试讨论这两个函数图象的交点个数解：(1)h(x)ln x x22x(x0)，则 h(x) ax2.若使 h(x)存在单调递减区间，a21x则 h(x) ax20 时，h(x)1x ax2 2a ，问题转化为 a 在(0，)上有解，故 a 大于函1x1x1x22x1x22x数 t 在(0，)上的最小值1x22
4、x又 t 21，故 t 在(0，)上的最小值为1，所以 a1，故 a 的取1x22x(1x1值范围为(1，)(2)令 F(x)f(x)g(x)axln x1(a0，x0)函数 f(x)ax 与 g(x)ln x1 的图象的交点个数即为函数 F(x)的零点个数 F(x)a (x0)令 F(x)a 0，解得 x .随着 x 的变化，F(x)，F(x)的变化情况如下1x1x1a表：x(0，1a)1a(1a，)F(x)0F(x)极(最)小值当 F2ln a0，即 ae2时，F(x)恒大于 0；(1a)当 F2ln a0，即 ae2时，函数 F(x)有且仅有一个零点；(1a)当 F2ln a1.又 F(
5、1)a10，所以 F(1)F 时，F(x)ln 1.由指数函数 y(ea)x(ea1)与幂函数 yx 增长速度的快慢1aeaxx知，存在 x0 ，使得1.从而 F(x0)ln1ln 1110.因而 F(x0)Fe2时，f(x)与 g(x)的图象无交点；当 ae2时，f(x)与 g(x)的图象有且仅有一个交点；当 02 时，不等式 axx22(x2)cos x4 对 x0,1不恒成立x32因为当 x0,1时，axx22(x2)cos x4x32(a2)xx24(x2)sin2x32x2(a2)xx24(x2)2x32(x2)(a2)xx2x32(a2)x x232 x.32x23a2所以存在 x
6、0(0,1)满足 ax0x 2(x02)cos (例如x0取a23和12中的较小值)2 0x3 02x040， 即当 a2 时，不等式 axx22(x2)cos x40 对 x0,1不恒成立x32综上，实数 a 的取值范围是(，2导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则 F(x)在(a，b)上是增函数，同时若 F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x)(2)利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首
7、先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题(2013新课标全国卷)设函数 f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线 yf(x)和曲线yg(x)都过点 P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x2.(1)求 a，b，c，d 的值；(2)若 x2 时，f(x)kg(x)，求 k 的取值范围解：(1)由已知得 f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而 f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故 b2，d2，a4，dc4.从而 a4，b2，c2，d2.(2)由(1
8、)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数 F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则 F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得 F(0)0，即k1.令 F(x)0，得 x1ln k，x22.()若 1ke2，则2x10，从而当 x(2，x1)时，F(x)0；当 x(x1，)时，F(x)0，即 F(x)在(2，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增，故 F(x)在2，)的最小值为 F(x1)而 F(x1)2x12x 4x12x1(x12)0.故当 x2 时，2 1F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立()若 ke2，则 F(x)2e2(x2)
9、(exe2)从而当 x2 时，F(x)0，即 F(x)在(2，)上单调递增而 F(2)0，故当 x2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立()若 ke2，则 F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当 x2 时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上，k 的取值范围是1，e2课堂归纳通法领悟1 个构造构造函数解决问题把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法2 个转化不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理3 个注意点利用导数解决实际问题应注意的三点(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围(2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.
