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1、1二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)考点 1 1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1 1二次函数的定义：形如（a0，a，b，c 为常数）的函数为二次函数cbxaxy22 2二次函数的图象及性质： 二次函数 y=ax2 (a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当 a0 时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 a0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越 小，抛物线开口越大y=a(xh)2k 的对称轴是 x=h，顶点坐标是（h，k） 。 二次函数的图象是一条抛物线顶点为（，） ，对称轴 x=cbxaxy2 2b a24 4acb a；当 a0 时，抛物线开口
2、向上，图象有最低点，且 x，y 随 x 的增大而增大，2b a2b ax，y 随 x 的增大而减小；当 a0 时，抛物线开口向下，图象有最高点，且 x2b a，y 随 x 的增大而减小，x，y 随 x 的增大而增大2b a2b a 当 a0 时，当 x=时，函数有最小值；当 a0 时，当 x=时，函数有2b a24 4acb a 2b a最大值。24 4acb a3 3图象的平移：将二次函数 y=ax2 (a0）的图象进行平移，可得到 y=ax2c，y=a(xh)2，y=a(xh)2k 的图象 将 y=ax2的图象向上(c0）或向下(c0)或向下(k0)平移 |k|个单位，即可得到 y=a(x
3、h)2 +k 的图象，其顶点是（h，k） ，对称轴是直线 x=h，形状、 开口方向与抛物线 y=ax2相同注意：注意：二次函数 y=ax2 与 y=ax2 的图像关于 x 轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，上加下减， 左加右减左加右减” 。2二、经典考题剖析： 【考题】.抛物线 y=4(x+2)2+5 的对称轴是_【考题 2】函数 y= x24 的图象与 y 轴的交点坐标是（ ）A.（2，0） B.（2，0） C.（0，4） D.（0，4）【考题】在平面直角坐标系内，如果将抛物线向右平移 2 个单位，向下平移 322xy 个单位，平移后二次函数的关系式是（） 3)2(22xy3)2(22xy
4、 答案：。3)2(22xy3)2(22xy【考题】 （2009、贵阳）已知抛物线的部分图象21(4)33yx（如图 1-2-1） ，图象再次与 x 轴相交时的坐标是（ ） A （5，0） B.（6，0） C （7，0） D.（8，0）解：C 点拨：由，可知其对称轴为 x=4,而图象与 x 轴已交于(1，0)，则与 x 轴的另一21(4)33yx交点为(7，0)。参考解题小诀窍。考点 2：二次函数的图象与系数的关系一、考点讲解：1、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定抛物线开口向上，则 a0；抛物线开口 向下，则 a02、b 的符号由对称轴决定，若对称轴是 y 轴，则 b=0；若抛物线的
5、顶点在 y 轴左侧，顶点的横坐标0，即0，则 a、b 为同号；若抛物线的顶点在 y 轴右侧，顶点的横2b a2b a坐标0，即0则 a、b 异号间“左同右异” 2b a2b a3c 的符号：c 的符号由抛物线与 y 轴的交点位置确定若抛物线交 y 轴于正半，则 c0，抛物线交 y 轴于负半轴则 c0；若抛物线过原点，则 c=034的符号：的符号由抛物线与 x 轴的交点个数决定若抛物线与 x 轴只有一个交点， 则=0；有两个交点，则0没有交点，则0 5、a+b+c 与 ab+c 的符号：a+b+c 是抛物线(a0）上的点(1，a+b+c）的纵cbxaxy2坐标，ab+c 是抛物线(a0）上的点（
6、1，abc）的纵坐标根据cbxaxy2点的位置，可确定它们的符号.二、经典考题剖析： 【考题 1】 （2009、潍坊）已知二次函数的图象如图 cbxaxy2l22 所示，则 a、b、c 满足（ ）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0解：A 点拨：由抛物线开口向下可知 a0；与 y 轴交于正半轴可知 c0；抛物线的对称轴在 y轴左侧，可知0，则 b0故选 A 2b a【考题 2】 （2009、天津）已知二次函数 (a0）且 a0，ab+c0，则一定cbxaxy2有（ ） Ab24ac0 Bb24ac0Cb24ac0 Db24ac0解：A 点拨：a0，抛物线
7、开口向下，经过（1，ab+c）点，因为cbxaxy2ab+c0，所以（1，ab+c）在第二象限，所以抛物线与 x 轴有两个交点，所以 b24ac0，故选 A 【考题】 （2009、重庆）二次函数的图象如图 1210，则cbxaxy2点（b，）在（ ）caA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限点拨：抛物线开口向下，所以 a 0, 顶点在 y 轴右侧，a、b 为异号，所以 b0，抛物线交 y 轴于正半轴，所以 c0，所以 0，所以 M 在第四象限ca4考点 3 3：二次函数解析式求法一、考点讲解：1 1二次函数的三种表示方法：表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；图象法：可
8、以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系2 2二次函数表达式的求法：一般式法一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得；将已知的cbxaxy2三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。顶点式法顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式： 其中顶点为(h，k)，对称轴为直线 x=h；2()ya xhk交点式法：交点式法：若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：,其中与 x 轴的交点坐标为（x1，0） ， （x2，0） 。12()()ya xxxx解题小诀窍解题小
9、诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设；已知顶点（0，c） ，即在 y 轴上时可设2axy ；已知顶点（h，0）即顶点在 x 轴上可设.caxy22)(hxay注意注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。二、经典考题剖析：【考题 1】 （2009、长沙）如图 1216 所示，要在底边 BC=160cm， 高 AD=120cm 的ABC 铁皮余料上，截取一个矩形 EFGH，使点 H 在 AB 上，点 G 在 AC 上，点 E、F 在 BC 上，AD 交 HG 于点 M，此时。AMAD=HGBC(1)设矩形 EFGH
10、 的长 HG=y，宽 HE=x，确定 y 与 x 的函数关系式；(2)当 x 为何值时，矩形 EFGH 的面积 S 最大？解：AHG ABC，所以，所以=，所以AMHG ADBC120 - x 120y 16016034xy5矩形的面积 S=xy，S= =2244160(12033xxxx 36003600)24(60)4800,3x所以 x=60cm, S 最大=48002.【考题 2】在直角坐标系中，AOB 的顶点坐标分别为 A（0，2） ，O（0，0） ，B（4，0） ， 把AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 900到COD。（1）求 C，D 两点的坐标；（2）求经过 C，D，B 三点的
11、抛物线解析式。解：（1）C 点（2,0） ，D 点（0，4） 。（2）设二次函数解析式为，由点 C，B 两点的坐标，得12()()ya xxxx。) 4)(2(xxay将点 D（0,4）代入得 a=，即二次函数解析式为。21)4)(2(21xxy【考题 3】如图，抛物线的对称轴是直线 x=1，它与 x 轴交于 A,B两点，与 y 轴交于 C 点。点 A,C 的坐标分别是(1，0)，(0，)。23（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点 P 是抛物线上位于 x 轴上方的一个动点，求ABP 的面积的最大值。解：(1)已知抛物线的对称轴为 x=1，设抛物线解析式为，将点 A(1，0)，kxay2
12、) 1(C(0，)代入解析式，得 解得， ，2323, 04kaka221ka2) 1(212xy即。23 212xxy（2）A 点横坐标为1，对称轴为 x=1，则点 B 的横坐标为 3，设点 P 横坐标是m（1m3） ，则点 P 纵坐标。 （0）23212mmyppy)2321(421212mmyABSpABP4) 1(3222mmm当 m=1 时，S 有最大值，为 4。解题小诀窍：解题小诀窍：当二次函数图像上出现动点时，可以先设出动点的横坐标，然后利用二次函6数的解析式将动点的纵坐标表示出来，如上面点 P 的纵坐标的表示方法。 7考点 4 4：根据二次函数图象解一元二次方程的近似解一、考点
13、讲解：1 1二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程就是二次函数当函数 y 的值为 0 时的情况20axbxccbxaxy2（2）二次函数的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、cbxaxy2没有交点；当二次函数的图象与 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y=0 时cbxaxy2自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2bxc=0 的根（3）当二次函数的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与 x 轴有一个交点cbxaxy2cbxaxy2时，则一元二次方程 ax2bxc0 有两个相等的实数根；当二次函数 yax2
14、+ bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根cbxaxy2解题小诀窍：解题小诀窍：抛物线与 x 轴的两个交点间的距离可以用| x1x2|来表示。二、经典考题剖析： 【考题 1】 （2009、湖北模拟）关于二次函数 的图象有下列命题：当 c=0cbxaxy2时，函数的图象经过原点；当 c0 且函数的图象开口向下时，axbxc=0 必有两个不等实根；函数图象最高点的纵坐标是；当 b=0 时，函数的图象关于 y 轴对24 4acb a称其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4解：C 点拨：显然正确；由 a0 及 c0，得=b2 -4ac0所以正确由于 a 的 符号不定，所以顶点是最高点或最低点不定所以不正确因为 b=0 时，对称轴为 x0所以正确 【考题 2】 （2009、天津）已知抛物线 yx22x8， （1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两 个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的 面积解：（1）证明：因为对于方程 x22x8=0，其判别式=（2）2 4（8） 360，所以方程 x22x8=0 有两个实根，抛物线 y= x22x8 与 x 轴一定有两个交点；8（2）解：因为方程 x22x8=0 有两个根为 x1=2，x2=4，所以 AB=| x1x2|6又抛物线顶点 P 的纵坐标
