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1、7.2 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规与简单的线性规划问题划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0By0C 的符号即可判断 AxByC0
2、表示的直线是 AxByC0 哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量 x，y 组成的一次不等式线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从
3、而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式 AxByC0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方.( )(2)不等式 x2y20，x，y 满足约束条件Error!Error!若 z2xy 的最小值为 1，则 a_.答案 (1)4 (2)12解析 (1)由线性约束条件Error!Error!画出可行域如图阴影部分所示，目标函数 zxy，将其化为 yxz，OMOA22结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，z 最大，将点(，2)的坐标代入22zxy 得 z 的最大值为 4.2(2)作出不等式组
4、表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线 z2xy 过交点 A 时，z 取最小值，由Error!Error!得Error!Error!zmin22a1，解得 a .12题型三 实际生活中的线性规划问题例 3 (2012江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为_.思维启迪 根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变
5、量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题.答案 30,20解析 设种植黄瓜 x 亩，韭菜 y 亩，则由题意可知Error!Error!求目标函数 zx0.9y 的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示.当目标函数线 l 向右平移，移至点 A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植 30亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大.思维升华 线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直
6、线系中过原点的那一条 l；(2)平移将 l 平行移动，以确定最优解的对应点 A 的位置；(3)求值解方程组求出 A 点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z 为_元.答案 4 900解析 设该公司合理计划当天派
7、用甲、乙型卡车的车辆数分别为 x，y，则根据条件得x，y 满足的约束条件为Error!Error!目标函数 z450x350y.作出约束条件所表示的平面区域如图，然后平移目标函数对应的直线 450x350y0(即 9x7y0)知，当直线经过直线 xy12 与 2xy19 的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即 z450735054 900.题型四 求非线性目标函数的最值例 4 (1)设实数 x，y 满足Error!Error!则 的最大值为_.yx(2)已知 O 是坐标原点，点 A(1,0)，若点 M(x，y)为平面区域Error!Error!上的一个动点， 则|的最小值是_. OAOM思
8、维启迪 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.答案 (1) (2)323 22解析 (1) 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1， )处取到最大值.yx32(2)依题意得，(x1，y)，|可视为 OAOMOAOMx12y2点(x，y)与点(1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线 xy2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1,0)的距离最小，因此|的最小值是.OAOM|102|23 22思维升华 常见代数式的几何意义有(1)
9、表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；x2y2(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；xa2yb2(3) 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；yx(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.ybxa设不等式组Error!Error!所表示的平面区域是 1，平面区域 2是与 1关于直线3x4y90 对称的区域，对于 1中的任意一点 A 与 2中的任意一点 B，AB 的最小值等于_.答案 4解析 由题意知，所求的 AB 的最小值，即为区域 1中的点到直线 3x4y90 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线 3x4y90 的距离
10、最小，故 AB 的最小值为24.|3 14 19|5线性规划问题中忽视参数范围致误典例：(5 分)已知 x，y 满足约束条件|x|2|y|2，且 zymx(m0)的最小值等于2，则实数 m 的值等于_.易错分析 本题容易出现的错误主要有两个方面：(1)没有将绝对值不等式转化为不等式组，画不出正确的可行域；(2)没有对参数 m 的取值情况进行分类讨论，造成漏解，只得到 m1.解析 原不等式等价于以下四个不等式组：Error!Error!Error!Error!Error!Error!Error!Error!因此可画出可行域(如图)：由 zymx 得 ymxz.(1)当 m 时，由图形可知，目标函
11、数在点 A(2,0)处取得最小值，12因此202m，解得 m1.(2)当 00 时，截距 取最大值时，zbzbz 也取最大值；截距 取最小值时，z 也取最小值；当 b0)仅在点(3,0)处取 得最大值，则 a 的取值范围是_.答案 (12，)解析 画出 x、y 满足条件的可行域p如图所示，要使目标函数zaxy 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线 yaxz 的斜率应小于直线 x2y30 的斜率，即a .12124.当 x，y 满足约束条件Error!Error!(k 为负常数)时，能使 zx3y 的最大值为 12，k 的值为_.答案 9解析 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图
12、所示).当直线 y x z 经过区域中的点 A 时，截距最大.1313由Error!Error!得 xy .k3点 A 的坐标为( ， ).k3k3则 z 的最大值为 3( ) k，k3k343令12，得 k9.4k3所求实数 k 的值为9.5.(2012福建改编)若函数 y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件Error!Error!则实数 m 的最大值为_.答案 1解析 在同一直角坐标系中作出函数 y2x的图象及Error!Error! 所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当 m1 时，函数 y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故 m 的最大值为 1.6.设 x，y 满足
13、约束条件Error!Error!，若目标函数 zaxby(a0，b0)的最大值为 12， 则 ab 的取值范围是_.答案 (0， 32解析 画出不等式的平面区域，由图可知，目标函数过 A 点时，取得最大值，A 点坐标为(4,6)，所以，4a6b12，取 2a3b6,62a3b2，所以，0ab .6ab327.(2013湖北)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆.若每天运送人数不少于 900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？解 设 A 型，B 型车辆的数量分别为 x，y 辆，相应营运成本为 z 元，则 z1 600x2 400y.由题意，得 x，y 满足约束条件Error!Error!作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6).由图可知，当直线 z1 600x2 400y 经过可行域的点 P 时，直线 z1 600x2 400y 在 y轴上的截距最小，即 z 取得最小值.z2 400故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆.
