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1、7.6 数学归纳法数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题，可按以下步骤：(1)当 n 取第一个值 n0(例如 n01,2 等)时结论正确；(2)假设当 nk(kN*，且 kn0)时结论正确，证明当 nk1 时结论也正确只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都成立1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n1 时结论成立.( )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 nk
2、到 nk1 时，项数都增加了一项.( )(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31” ，验证 n1 时，左边式子应为 122223.( )(6)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时，n03.( )2.用数学归纳法证明 1aa2an1(a1，nN*)，在验证 n1 成立时，1an21a左边需计算的项是_.答案 1aa2解析 观察等式左边的特征得到 n1 时的式子.3.已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 2时，若1213141n(1n21n412n)已假设 nk(k2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证_.答案 nk2 时等式成立解析 因为假设 nk(k2 且
3、k 为偶数)，故下一个偶数为 k2.4.已知 f(n) ，则 f(n)中共有_项，f(2)_.1n1n11n21n2答案 n2n1 121314解析 从 n 到 n2共有 n2n1 个数，所以 f(n)中共有 n2n1 项.5.用数学归纳法证明：“1 1)”时，由 nk(k1)不等式成立，121312n1推理 nk1 时，左边应增加的项数是_.答案 2k解析 当 nk 时，要证的式子为 1 均成立.12n12n12证明 (1)当 n2 时，左边1 ；右边.134352左边右边，不等式成立.(2)假设 nk(k2，且 kN*)时不等式成立，即(1 )(1 )(1).131512k12k12则当
4、nk1 时，(1 )(1 )(1)1131512k112k112k122k22k12k22 2k14k28k42 2k14k28k32 2k1.2k3 2k12 2k12k112当 nk1 时，不等式也成立.由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立.题型三 归纳猜想证明例 3 已知数列an的前 n 项和 Sn满足：Sn1，且 an0，nN*.an21an(1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性.思维启迪 通过计算 a1，a2，a3寻求规律猜想an的通项公式，然后用数学归纳法证明.(1)解 当 n1 时，由已知得 a11，a 2a120.
5、a121a12 1a11(a10).3当 n2 时，由已知得 a1a21，a221a2将 a11 代入并整理得 a 2a220.32 23a2(a20).53同理可得 a3.75猜想 an(nN*).2n12n1(2)证明 由(1)知，当 n1,2,3 时，通项公式成立.假设当 nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即 ak.2k12k1由 ak1Sk1Sk，ak121ak1ak21ak将 ak代入上式并整理得2k12k1a2ak120，2k12k1解得：ak1(an0).2k32k1即当 nk1 时，通项公式也成立.由和，可知对所有 nN*，an都成立.2n12n1思维升华 (1)猜想an的
6、通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；证明 ak1时，ak1的求解过程与 a2、a3的求解过程相似，注意体会特殊性与一般性的辩证关系.(2)“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.已知函数 f(x) x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)，试比13较与 1 的大小，并说明理由.11a111a211a311an解 f(x)x21，且
7、an1f(an1)，an1(an1)21，函数 g(x)(x1)21 在1，)上单调递增.于是由 a11 得 a2(a11)21221，进而 a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当 n1 时，a12111，结论成立；假设 nk(k1 且 kN*)时结论成立，即 ak2k1.当 nk1 时，由 g(x)(x1)21 在区间1，)上单调递增知 ak1(ak1)2122k12k11，即 nk1 时，结论也成立.由知，对任意 nN*，都有 an2n1，即 1an2n，11an12n11a111a211a311an 1( )n0，f(x)，令 a11，an
8、1f(an)，nN*.axax(1)写出 a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论.思维启迪 通过计算 a2，a3，a4观察规律猜想 an，然后用数学归纳法证明.规范解答(1)解 a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).4 分a1aa2aa3a猜想 an(nN*).6 分an1a(2)证明 易知，n1 时，猜想正确.7 分假设 nk 时猜想正确，即 ak，9 分ak1a则 ak1f(ak)aakaakaak1aaak1a.ak1a1ak11a这说明，nk1 时猜想正确.13 分由知，对于任何 nN*，都有 an.14 分an1a归纳
9、猜想证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值 n0(n0N*)成立.第三步：假设 nk(kn0)时结论成立，证明当 nk1 时结论也成立.第四步：下结论，由上可知结论对任意 nn0，nN*成立.温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明 nk 到 nk1 这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法.(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需
10、要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.方法与技巧1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证 nk1 时，必须用上归纳假设.3.利用归纳假设的技巧在推证 nk1 时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握 nk 与 nk1 之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.失误与防范1.数学归纳法证题时初始值 n0不一定是 1；2.
11、推证 nk1 时一定要用上 nk 时的假设，否则不是数学归纳法.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、填空题1.用数学归纳法证明 2n2n1，n 的第一个取值应是_.答案 3解析 n1 时，211,2113,2n2n1 不成立；n2 时，224,2215,2n2n1 不成立；n3 时，238,2317,2n2n1 成立.n 的第一个取值应是 3.2.楼梯共 n 级，每步只能跨上 1 级或 2 级，走完 n 极楼梯共有 f(n)种不同方法，则 f(n)，f(n1)，f(n2)的关系为_.答案 f(n)f(n1)f(n2)解析 走完 n 级楼梯分为两类.第一类走法：第一步跨一级，此时有 f(
12、n1)种走法；第二类走法：第一步跨两级，此时共有 f(n2)种走法.3.用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n12(2n1)(nN*)”时，从“nk 到nk1”时，左边应增添的式子是_.答案 2(2k1)解析 左边应增添的式子等于 k2k3k1k1k1k2kk2(2k1).k2k32k2k12k2k1k22k4.对于不等式4 时，f(n)_(用n 表示).答案 5 (n1)(n2)12解析 f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1) (n1)(n2).12二、解答题9.用数学归纳法证明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1.nn12证明
13、 (1)当 n1 时，左边121，右边(1)01，原等式成立.1 112(2)假设 nk(kN*，k1)时，等式成立，即有 12223242(1)k1k2(1)k1.kk12那么，当 nk1 时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2kk12(1)kk2(k1)k12(1)k.k1k22nk1 时，等式也成立，由(1)(2)知对任意 nN*有12223242(1)n1n2(1)n1.nn1210.已知数列an，an0，a10，aan11a .2n12 n求证：当 nN*时，an0，得 ak1对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证1n11n213n1a24明结论.解 当 n1 时，111112131a24即，所以 a.1n11n213n12524(1)当 n1 时，已证得不等式成立.(2)假设当 nk(kN*)时，不等式成立，即.1k11k213k12524则当 nk1 时，有1k111k1213k11.1k11k213k113k213
