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1、7.4 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理1.推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.2.合情推理归纳推理类比推理定义从个别事实中推演出一般性的结论根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3.演绎推理(1)定义：由一般性的命题推演出
2、特殊性命题的推理方法称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结构大前提提供了一个一般性的原理；小前提指出了一个特殊对象；结论两个判断结合起来，提示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题.“三段论”的表示大前提M 是 P.小前提S 是 M.结论S 是 P.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比
3、对象较为合适.( )(4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数” ，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )(5)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 ann(nN*).( )(6) 2， 3， 4， 6(a，b 均为实数)，则223233383844154156baba可以推测 a35，b6.( )2.数列 2,5,11,20，x,47，中的 x 等于_.答案 32解析 523,1156,20119，推出 x2012，所以 x32.3.观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则 52 011的后
4、四位数字为_.答案 8 125解析 553 125,5615 625,5778 125,58390 625,591 953 125，可得 59与 55的后四位数字相同，由此可归纳出 5m4k与 5m(kN*，m5,6,7,8)的后四位数字相同，又 2 01145017，所以 52 011与 57后四位数字相同为 8125.4.(2013陕西)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第 n 个等式可为_.答案 12223242(1)n1n2(1)n1nn12解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第 n 个等式左边有 n 项，指数都是 2，且正、负相间，所以等式
5、左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为 1,3,6,10,15,21，.设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即 an123n.所以第 n 个等式为nn1212223242(1)n1n2(1)n1.nn125.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列.类比以上结论有设等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_，成等比数列.T16T12答案 T8T4T12T8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则
6、 T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，因此a5a6a7a8，a9a10a11a12，a13a14a15a16，T8T4T12T8T16T12而 T4， ，的公比为 q16，T8T4T12T8T16T12因此 T4， ，成等比数列.T8T4T12T8T16T12题型一 归纳推理例 1 设 f(x)，先分别求 f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般 13x 3性结论，并给出证明. 思维启迪 解题的关键是由 f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明.解 f(0)f(1)130 3131 3，11 313 33123
7、3633同理可得：f(1)f(2)，33f(2)f(3)，33并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于 1.归纳猜想得：当 x1x21 时，均为 f(x1)f(x2).33证明：设 x1x21，f(x1)f(x2)331 33121xx3)33(333233 )33)(33()33()33(2121212121xxxxxxxxxx.33 )3233(33233 32)33(3323321212121 xxxxxxxx思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的.(3)
8、归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.(1)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_.(2)已知 f(n)1 (nN*)，经计算得 f(4)2，f(8) ，f(16)3，f(32) ，则有12131n5272_.答案 (1)567891011121381(2)f(2n)(n2，nN*)n22解析 (1)由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五个等式为 56789101112139281.(2)由题意得 f(22) ，f(23) ，f(24) ，f(25) ，42526272所
9、以当 n2 时，有 f(2n).n22故填 f(2n)(n2，nN*).n22题型二 类比推理例 2 已知数列an为等差数列，若 ama，anb(nm1，m，nN*)，则 amn.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若nbmanmbmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到 bmn_.思维启迪 等差数列an和等比数列bn类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算.答案 nmdncm解析 设数列an的公差为 d，数列bn的公比为 q.因为 ana1(n1)d，bnb1qn
10、1，amn，nbmanm所以类比得 bmnnmdncm思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应法则，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.(1)给出下列三个类比结论：(ab)nanbn
11、与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay 与 sin()类比，则有 sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的序号是_.(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径 r(其中 a，b 为直角三角形两直角边长).a2b22类比此方法可得三条侧棱长分别为 a，b，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R_.答案 (1) (2)Ra2b2c22解析 (1)错误，正确.(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半
12、径.题型三 演绎推理例 3 已知函数 f(x)(a0，且 a1).aax a(1)证明：函数 yf(x)的图象关于点( ， )对称；1212(2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.思维启迪 证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数 yf(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是 f(x)(a0 且 a1)的图象关于点aax a( ， )对称.1212(1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点( ， )对称的点的坐标为(1x，1y).1212由已知得 y，则1yaax a1，aax aaxax af(1x)aa1x a
13、aaax a，aaxa aaxaxax a1yf(1x)，即函数 yf(x)的图象关于点( ， )对称.1212(2)解 由(1)知1f(x)f(1x)，即 f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.已知函数 yf(x)，满足：对任意 a，bR，ab，都有 af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明
14、：f(x)为 R 上的单调增函数.证明 设 x1，x2R，取 x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1).所以 yf(x)为 R 上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1)(5 分)(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1,3,6,10，第 n 个三角形数为 n2 n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，nn121212以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n,3) n2 n，1212正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5) n2 n，3212六边形数N(n,6)2n2n可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)_.思维启迪 从已知的部分 k 边形数观察一般规律写出 N(n，k)，然后求 N(10,24).解析 由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推
