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1、4.5 函数函数 yAsin(x)的图象及应用的图象及应用1.yAsin(x)的有关概念振幅周期频率相位初相yAsin(x)(A0，0)，x0，)AT2f 1T2x2.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示.x02322x02322yAsin(x)0A0A03.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)的图象的步骤如下：1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)作函数 ysin(x )在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，( ，1)，(，0)，62(，1)，(2，0)这五个点.( 32 )(2)将 y3sin 2x 的图象向
2、左平移 个单位后所得图象的解析式是 y3sin(2x ). ( )44(3)ysin(x )的图象是由 ysin(x )的图象向右移 个单位得到的.( )442(4)ysin(2x)的递减区间是(k， k)，kZ.( )344(5)函数 f(x)sin2x 的最小正周期和最小值分别为 ，0.( )(6)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 .( )T22.把函数 ysin(x )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将图象向右平移612个单位，那么所得函数的解析式为_.3答案 ycos 2x解析 将 ysin(x )图象上各点的横坐标
3、缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到函数612ysin(2x )；再将图象向右平移 个单位，得到函数 ysin2(x ) sin(2x )63362cos 2x.3.(2013四川改编)函数 f(x)2sin(x)(0， 0)，将 yf(x)的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原图3象重合，则 的最小值等于_.答案 6解析 由题意可知，nT (nN*)，3n (nN*)，236n (nN*)，当 n1 时， 取得最小值 6.5.已知简谐运动 f(x)2sin (|0)的周期为 .3(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数 f(x)的图象可
4、由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到.思维启迪 将 f(x)化为一个角的一个三角函数，由周期是 求 ，用五点法作图要找关键点 . 解 (1)f(x)sin xcos x32( sin xcos x)2sin(x )，12323又T，即 2.f(x)2sin(2x ).23函数 f(x)sin xcos x 的振幅为 2，初相为 .33(2)令 X2x ，则 y2sin2sin X.3(2x3)列表，并描点画出图象：x612371256X02322ysin X01010y2sin(2x3)02020(3)方法一 把 ysin x 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 ysin的图象，3
5、(x3)再把 ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到 ysin(x3)12的图象，最后把 ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，(2x3)(2x3)即可得到 y2sin的图象.(2x3)方法二 将 ysin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到12ysin 2x 的图象；再将 ysin 2x 的图象向左平移 个单位，得到 ysin 2sin6(x6)的图象；再将 ysin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原(2x3)(2x3)来的 2 倍，得到 y2sin的图象.(2x3)思维升华 (1)五点法作简图：用“
6、五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设 zx，由 z 取 0， ，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点232坐标，描点后得出图象.(2)图象变换：由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.已知函数 f(x)3sin，xR.(12x4)(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数 ysin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象？解 (1)列表取值：x232527292x12402322f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连结，得到一个周期的简图.(2)
7、先把 ysin x 的图象向右平移 个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的 2 倍，4再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍，得到 f(x)的图象.题型二 求函数 yAsin(x)的解析式例 2 (1)已知函数 f(x)2sin(x)(其中 0，|0，|0)的图象的一部分如图所2示，则该函数的解析式为_.思维启迪 (1)根据周期确定 ，据 f(0)和|0，|0)来确定 ；2 的确定：由函数 yAsin(x)k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为 (即令 x0，x )确定 .如图为 yAsin(x)的图象的一段.(1)求其解析式；(2)若将 yAsin(x)的图象向左平移 个单位
8、长度后得 yf(x)，6求 f(x)的对称轴方程.解 (1)由图象知 A，3以 M为第一个零点，N为第二个零点.(3，0)(56，0)列方程组Error!Error! 解之得Error!Error!所求解析式为 ysin.3(2x23)(2)f(x)sin32(x6)23sin，3(2x3)令 2x k(kZ)，则 x (kZ)，32512k2f(x)的对称轴方程为 x (kZ).512k2题型三 函数 yAsin(x)的应用例 3 已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|0，0,00，0)的单调区间的确定，基本思想是把 x 看做一个整体.若 0，且|0，函数 ysin(x )2 的图象
9、向右平移个单位后与原图象重合，则 的最小值343是_.答案 32解析 由函数向右平移个单位后与原图象重合，43得是此函数周期的整数倍.又 0，43k， k(kZ)，min (0).24332325.已知函数 f(x)2sin x 在区间 ， 上的最小值为2，则 的取值范围是_.34答案 (， ，)3232解析 当 0 时， x ，34由题意知 ，即 ；3232当 0)，ff，且 f(x)在区间上有最小值，无最大值，则(x3)(6)(3)(6，3)_.答案 143解析 依题意，x 时，y 有最小值，6324sin1， 2k (kZ).(43)43328k (kZ)，因为 f(x)在区间上有最小值
10、，无最大值，所以 0，0,00)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28，12 月份的月平均气温最低，为 18，则 10 月份的平均气温值为_.答案 20.5解析 由题意得Error!Error! Error!Error!y235cos，6x6x10 时，y23520.5.(12)二、解答题9.(2013天津)已知函数 f(x)sin 6sin xcos x2cos2x1，xR.2(2x4)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值.0，2解 (1)f(x)sin 2xcos cos 2xsin 3sin 2xcos 2x24242sin 2x2cos
11、2x2sin.2(2x4)所以，f(x)的最小正周期 T.22(2)因为 f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数.又 f(0)0，3838，22，f2，f2，故函数 f(x)在区间上的最大值为 2，最小值为2.(38)2(2)0，2210.已知函数 f(x)sin xcos xcos2x(0)的周期为 .32(1)求 的值和函数 f(x)的单调递增区间；(2)设ABC 的三边 a、b、c 满足 b2ac，且边 b 所对的角为 x，求此时函数 f(x)的值域.解 (1)f(x)sin 2x (cos 2x1)3212sin(2x ) ，612由 f(x)的周期 T ，得 2，222f(x)s
12、in(4x ) ，612由 2k 4x 2k (kZ)，262得x (kZ)，12k26k2即 f(x)的单调递增区间是， (kZ).12k26k2(2)由题意，得 cos x ，a2c2b22ac2acac2ac12又00，0,00，S20，S30，S40，S50，S60，S70.S8sin sin sin sin 7277787sin sin sin 0，273777S9sin sin sin 0，374777S10sin sin 0，4777S11sin sin sin 0，576777S12sin sin 0，6777S13sin 0，77S14sin sin 0，77147S1，S2
13、，S100中，S130，S140，S270，S280，S410，S420，S550，S560，S690，S700，S830，S840，S970，S980，共 14 个.在 S1，S2，S100中，正数的个数是 1001486(个).3.已知函数 f(x)sin(x) (0， )的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距22离为 2，且过点，则函数解析式 f(x)_.2(2，12)答案 sin(x26)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为 2，可得2，解得 T4，2(T2)21122故 ，即 f(x)sin，又函数图象过点，故 f(2)sin()sin 2T2(x2)(2，12) ，又 ，解得 ，故 f(x)sin.12226(x26)4.设函数 f(x)sin xcos x，若 0x2 013，则函数 f(x)的各极值之和为_.答案 2解析 f(x)cos xsin xsin，令 f(x)0，得 x k (kZ)，f(x)2(x
