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1、3.2 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值.(2)求可导函数的极值的步骤求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程 f(x)0 的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值.(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，
2、f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)在区间(a，b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件.( )(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( )(3)函数的极大值不一定比极小值大.( )(4)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x
3、0点为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )(6)函数 f(x)xsin x 有无数个极值点.( )2.函数 f(x)x22ln x 的单调减区间是_.答案 (0,1)解析 f(x)2x (x0).2x2x1x1x当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数.3.如图是 yf(x)的导函数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2，1上是增函数；x1 是 f(x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；x3 是 f(x)的极小值点.其中正确的判断是_.(填序号)答案 解析 f(x)在2，1上是小于等于 0 的，f(x)
4、在2，1上是减函数；f(1)0 且在 x0 两侧的导数值为左负右正，x1 是 f(x)的极小值点；对， 不对，由于 f(3)0.4.若函数 f(x)在 x1 处取极值，则 a_.x2ax1答案 3解析 f(x).因为 f(x)在 x1 处取极值，所以 1 是 f(x)2x22xx2ax12x22xax120 的根，将 x1 代入得 a3.5.函数 f(x)x3ax2 在(1，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_.答案 3，)解析 f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则 f(x)3x2a0 在(1，)上恒成立，即 a3x2在(1，)上恒成立.a3.题型一 利用导数研究函数的单
5、调性例 1 已知函数 f(x)exax1.(1)求 f(x)的单调增区间；(2)是否存在 a，使 f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由.思维启迪 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论.解 f(x)exa，(1)若 a0，则 f(x)exa0，即 f(x)在 R 上单调递增，若 a0，exa0，exa，xln a.因此当 a0 时，f(x)的单调增区间为 R，当 a0 时，f(x)的单调增区间是ln a，).(2)f(x)exa0 在(2,3)上恒成立.aex在 x(2,3)上恒成立.又21，求 f(x)的单调区间.13解 f(x)x2
6、2(1a)x4a(x2)(x2a)，由 a1 知，当 x0，故 f(x)在区间(，2)上是增函数；当 22a 时，f(x)0，故 f(x)在区间(2a，)上是增函数.综上，当 a1 时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数.(2)若 f(x) x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是_.12答案 (，1解析 转化为 f(x)x0 在1，)上恒成立，bx2即 bx(x2)在1，)上恒成立，令 g(x)x(x2)(x1)21，所以 g(x)min1，则 b 的取值范围是(，1.题型二 利用导数研究函数的极值例 2 设 f(x)2x3ax2b
7、x1 的导数为 f(x)，若函数 yf(x)的图象关于直线 x 对12称，且 f(1)0.(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的极值.思维启迪 由条件 x 为 yf(x)图象的对称轴及 f(1)0 求得 a，b 的值，再由12f(x)的符号求其极值.解 (1)因为 f(x)2x3ax2bx1，故 f(x)6x22axb.从而 f(x)62b，即 yf(x)关于直线 x 对称，从而由题设条件知 ，解(xa6)a26a6a612得 a3.又由于 f(1)0，即 62ab0，解得 b12.(2)由(1)知 f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2).令 f(
8、x)0，即 6(x1)(x2)0，解得 x12，x21.当 x(，2)时，f(x)0，故 f(x)在(，2)上为增函数；当 x(2,1)时，f(x)0，故 f(x)在(1，)上为增函数.从而函数 f(x)在 x12 处取得极大值 f(2)21，在 x21 处取得极小值 f(1)6.思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)若函数 yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么 yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.已知函数 f(x)x33ax23x1.(1)设 a2，求 f(x)的单调
9、区间；(2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求 a 的取值范围.解 (1)当 a2 时，f(x)x36x23x1，f(x)3x212x33(x2)(x2).33当 x(，2)时，f(x)0，f(x)在(，2)上单调递增；33当 x(2，2)时，f(x)0，f(x)在(2，)上单调递增.33综上，f(x)的单调增区间是(，2)和(2，)，33f(x)的单调减区间是(2，2).33(2)f(x)3x26ax33(xa)21a2.当 1a20 时，f(x)0，f(x)为增函数，故 f(x)无极值点；当 1a20)，g(x)x3bx.(1)若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交
10、点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值；(2)当 a3，b9 时，若函数 f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为 28，求 k 的取值范围.思维启迪 (1)题目条件的转化：f(1)g(1)且 f(1)g(1)；(2)可以列表观察 h(x)在(，2上的变化情况，然后确定 k 的取值范围.解 (1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以 f(1)g(1)且 f(1)g(1)，即 a11b 且 2a3b，解得 a3，b3.(2)记 h(x)f(x)g(x)，当 a3，b9 时，h(x)x33x29x1，所以 h(x)
11、3x26x9.令 h(x)0，得 x13，x21.h(x)，h(x)在(，2上的变化情况如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知当 k3 时，函数 h(x)在区间k,2上的最大值为 28；当31，求 f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.解 (1)当 a1 时，f(x)6x212x6，所以 f(2)6.又因为 f(2)4，所以切线方程为 y6x8.(2)记 g(a)为 f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa).令 f(x)0，得到 x11，x2a.当 a1 时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)
12、2af(x)00f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3a)单调递增4a3比较 f(0)0 和 f(a)a2(3a)的大小可得g(a)Error!Error!当 a0，令 y0，得 x0，则 a0，所以顶点在第一象限.4acb24a3.设 aR，若函数 yexax，xR 有大于零的极值点，则 a 的取值范围为_.答案 a0 时，ex0)，129x当 x 0 时，有 00 且 a13，解得 12 或 a0，a2 或 aa，则实数 a 的取值范围是x22_.答案 (， )72解析 f(x)3x2x2，令 f(x)0，得 3x2x20，解得 x1 或 x ，23又 f(1) ，f( )，
13、f(1)，f(2)7，722315727112故 f(x)min ，a2 时，对任意的 x2 且 xa，恒有 f(x)f(a)f(a)(xa)；函数 f(x)有且只有一个零点.其中真命题为_.(填序号)答案 解析 f(x)3x24x4(3x2)(x2)，可得 f(x)在(， )上为增函数，在( ，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，故2323错误；f(x)极小值f(2)15，故正确；在(2，)上，f(x)为“下凸”函数，又a2，xa，当 xa 时，有f(a)恒成立；当 xf(a)f(a)(xa)，故正确；f(x)极大值f( )0 时，因为二次函数 yax2(a1)xa 的图象开口向上，而 f(0)a0，f(x)不符合条件.故 a 的取值范围为 0a1.(2)因 g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，当 a0 时，g(x)ex0，g(x)在 x0 处取得最小值 g(0)1，在 x1 处取得最大值 g(1)e.当 a1 时，对于任意 x0,1有 g(x)2xex0，g(x)在 x0 处取得最大值 g(0)2，在 x1 处取得最小值 g(1)0.当 00.1a2a若1，即 00，e1e1g(x)在 x1 处取得最小值 g(1)(1a)e.
