《【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮学案51抛物线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮学案51抛物线（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 抛物线抛物线导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2. 理解数形结合的思想自主梳理 1抛物线的概念 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离_的点的轨迹叫做抛物 线点 F 叫做抛物线的_，直线 l 叫做抛物线的_ 2抛物线的标准方程与几何性质 y22px (p0)y22px (p0)x22py (p0)x22py (p0)标准方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点O(0,0) 对称轴y0x0焦点F( ，0)p2F( ，0)p2F(0， )p2F(0， )p2 离心率e1 准线 方程xp2xp2yp2yp2范围
2、x0， yRx0， yRy0， xRy0， xR 开口 方向向右向左向上向下自我检测 1(2010四川)抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是_2若抛物线 y22px 的焦点与椭圆1 的右焦点重合，则 p 的值为_x26y22 3(2011陕西改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是 _4设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若0，FAFBFC则|_.FAFBFC5(2010佛山模拟)已知抛物线方程为 y22px (p0)，过该抛物线焦点 F 且不与 x 轴垂 直的直线 AB 交抛物线于 A、B 两点，过点 A、点 B 分别作 AM、BN 垂直
3、于抛物线的准线， 分别交准线于 M、N 两点，那么MFN_.探究点一 抛物线的定义及应用例 1 已知抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求 PAPF 的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标变式迁移 1 已知点 P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为_ 探究点二 求抛物线的标准方程 例 2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M(m，3)到焦点的 距离为 5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程变式迁移 2 根据下列条件求抛物线的标准方程： (1
4、)抛物线的焦点 F 是双曲线 16x29y2144 的左顶点； (2)过点 P(2，4)探究点三 抛物线的几何性质 例 3 过抛物线 y22px 的焦点 F 的直线和抛物线相交于 A，B 两点，如图所示(1)若 A，B 的纵坐标分别为 y1，y2，求证：y1y2p2； (2)若直线 AO 与抛物线的准线相交于点 C，求证：BCx 轴变式迁移 3 已知 AB 是抛物线 y22px (p0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A(x1，y1)， B(x2，y2)求证：(1)x1x2；p24(2)为定值1AF1BF分类讨论思想 例 (14 分)过抛物线 y22px (p0)焦点 F 的直线交抛物线于 A、
5、B 两点，过 B 点作其准线的垂线，垂足为 D，设 O 为坐标原点，问：是否存在实数 ，使？AOOD多角度审题 这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出 A、B 两点坐标，从而 得到 D 点坐标，再设出直线 AB 的方程，利用方程组和向量条件求出 . 【答题模板】解 假设存在实数 ，使.AOOD抛物线方程为 y22px (p0)，则 F，准线 l：x ，2 分(p2，0)p2 (1)当直线 AB 的斜率不存在， 即 ABx 轴时，交点 A、B 坐标不妨设为：A，B.(p2，p)(p2，p)BDl，D，(p2，p)，AO(p2，p)OD(p2，p)存在 1 使.6 分AOOD(2)当直线 AB
6、 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk (k0)，(xp2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 D，x1，x2，(p2，y2)y2 12py2 22p由Error! 得 ky22pykp20，y1y2p2，y2，8 分p2y1(x1，y1)，AO(y2 12p，y1)OD(p2，y2) (p2，p2y1)假设存在实数 ，使，则Error!，解得 ，AOODy2 1p2存在实数 ，使.y2 1p2AOOD综上所述，存在实数 ，使.14 分AOOD【突破思维障碍】 由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究 A、D 两点坐标关系
7、，求出和的坐标，判断 是否存在AOOD【易错点剖析】 解答本题易漏掉讨论直线 AB 的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜 式方程认识不足1关于抛物线的定义 要注意点 F 不在定直线 l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线 2关于抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于： (1)p 的几何意义：参数 p 是焦点到准线的距离，所以 p 恒为正数 (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物 线的开口方向 3关于抛物线的几何性质 抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离 心率等
8、于 1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛例如： 已知过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：ABx1x2p 或 AB( 为 AB 的倾斜角)，2psin2y1y2p2，x1x2等 p24(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分) 1(2011大纲全国改编)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 y2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 cosAFB 等于_ 2(2011湖北改编)将两个顶点在抛物线 y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点 的正三角形个数记为 n，则 n
9、_. 3(2011连云港模拟)已知抛物线 y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的 位置关系是_ 4抛物线 y2x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_5(2011淮安模拟)设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 为抛物线上一点，若4，则点 A 的坐标为_OAAF6(2011重庆，15)设圆 C 位于抛物线 y22x 与直线 x3 所围成的封闭区域(包含边 界)内，则圆 C 的半径能取到的最大值为_ 7已知 A、B 是抛物线 x24y 上的两点，线段 AB 的中点为 M(2,2)，则 AB_. 8(2010浙江)设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 A(0，2
10、)若线段 FA 的中点 B 在 抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为_二、解答题(共 42 分) 9(14 分)已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y2x1 所得的弦长为，15求抛物线方程10(14 分)(2010韶关一模)已知抛物线 C：x28y.AB 是抛物线 C 的动弦，且 AB 过 F(0,2)，分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线，设两切线交点为 Q，证明：AQBQ.11(14 分)(2010济南一模)已知定点 F(0,1)和直线 l1：y1，过定点 F 与直线 l1相 切的动圆圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程；(2)过点 F 的直线 l2交轨迹 C
11、于两点 P、Q，交直线 l1于点 R，求的最小值RPRQ学案学案 5151 抛物线抛物线 答案答案自主梳理 1相等 焦点 准线 自我检测 14 2.4 3y28x解析 因为抛物线的准线方程为 x2，所以 2，所以 p4，所以抛物线的方程是p2 y28x. 46 5.90 课堂活动区 例 1 解题导引 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离 与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 解 将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y.62，A 在抛物线内部6设抛物线上点 P 到准线 l：x 的距离为 d，由定义知12 PAPFPAd，当 PAl 时，PAd 最
12、小，最小值为 ，72即 PAPF 的最小值为 ，72 此时 P 点纵坐标为 2， 代入 y22x，得 x2，点 P 坐标为(2,2)变式迁移 1 (14，1) 解析 点 P 到抛物线焦点的距离等于点 P 到抛物线准线的距离，如图，PFPQPSPQ，故最小值在 S，P，Q 三点共线时取得，此时 P，Q 的纵坐标都是1，点 P 的坐标为.(14，1) 例 2 解题导引 (1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用 待定系数法若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法； (2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参 数 p 的值)解题关
13、键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解； (3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把 PF 转化为点 P 到准线的距离， 这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用 解 方法一 设抛物线方程为 x22py (p0)，则焦点为 F，准线方程为 y .(0，p2)p2M(m，3)在抛物线上，且 MF5， Error! 解得Error! 抛物线方程为 x28y，m2，6准线方程为 y2. 方法二 如图所示，设抛物线方程为 x22py (p0)，则焦点 F，(0，p2)准线 l：y ，作 MNl，垂足为 N.p2则 MNMF5，而 MN3 ，p23 5，p4.抛物线方程
14、为 x28y，p2 准线方程为 y2. 由 m2(8)(3)，得 m2.6变式迁移 2 解 (1)双曲线方程化为1，x29y216左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为 y22px (p0)且 3，p6.p2 方程为 y212x. (2)由于 P(2，4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为 y2mx (m0)或 x2ny (n0)为例)：y1y2p2，x1x2；p24ABx1x2p.证明 (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为 F.设过焦点 F 的直线交抛物(p2，0)线于 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2) 当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为yk，由Error!(xp2) 消去 x，得 ky22pykp20.(*) 当 k0 时，方程(*)只有一解，k0， 由韦达定理，得 y1y2p2； 当斜率不存在时，得两交点坐标为，y1y2p2.(p2，p) (p2，p) 综合两种情况，总有 y1y2p2.方法二 由抛物线方程可得焦点 F，设直线 AB 的方程为 xky ，并设(p2，0)p2 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 A、B 坐标满足Error!消去 x，可得 y22p，(kyp2) 整理，得 y22pkyp20， y1y2p2.(2)直线 AC 的方程为
