《【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮学案43空间向量及其运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮学案43空间向量及其运算（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 43 空间向量及其运算空间向量及其运算导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向 量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数 量积及其坐标表示，能运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系自主梳理 1空间向量的有关概念及定理 (1)空间向量：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量 (2)相等向量：方向_且模_的向量 (3)共线向量定理 对空间任意两个向量 a，b(a0)，b 与 a 共线的充要条件是 _ (4)共面向量定理 如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是
2、存在有序实数对(x，y)，使得 pxayb，推论的表达式为xy或对空间任意一点 O 有，MPMAMB_或xyz，其中 xyz_.OPOPOAOBOM(5)空间向量基本定理 如果三个向量 e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p_，把e1，e2，e3叫做空间的一个基底 2空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 则 ab_. (2)共线与垂直的坐标表示 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 若 b0，则 ab_，_，_， ab_(a，b 均为非零向量) (3)模、夹
3、角和距离公式 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 则|a|_，aacosa，b_.ab|a|b| 若 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|_.AB3利用空间向量证明空间中的位置关系 若直线 l，l1，l2的方向向量分别为 v，v1，v2，平面 ， 的法向量分别为 n1，n2，利 用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下：平行垂直 直线 与直线l1l2v1v2v1v2( 为非 零实数)l1l2v1v2v1v20直线 与平面lvn1vn10 lvxv1yv2其中lvn1vn1( 为 非零实数)v1，v2为平面 内不共线向量， x， y 均为实数 平面
4、与平面n1n2n1n2( 为非 零实数)n1n2n1n20自我检测 1若 a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且 ab，则 x_，y_. 2如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点，若a，b，c，则用 a，b，c 表示为_A1B1A1D1A1AB1M3在平行六面体 ABCDABCD中，已知BADAABAAD60，AB3，AD4，AA5，则|_.AC4下列 4 个命题： 若 pxayb，则 p 与 a、b 共面； 若 p 与 a、b 共面，则 pxayb；若xy，则 P、M、A、B 共面；MPMAMB若 P、M、A、B 共面，则xy.MPMAMB其中
5、真命题是_(填序号) 5A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点_(填共面或不共面).探究点一 空间基向量的应用例 1 已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，P 为 OA 的中 点，Q 为 OB 的中点，若 ABOC，求证：PMQN.变式迁移 1 如图，在正四面体 ABCD 中，E、F 分别为棱 AD、BC 的中点，则异面直 线 AF 和 CE 所成角的余弦值为_探究点二 利用向量法判断平行或垂直例 2 两个边长为 1 的正方形 ABCD 与正方形 ABEF 相交于 AB，EBC90，点 M、N 分别在 BD、AE
6、 上，且 ANDM. (1)求证：MN平面 EBC；(2)求 MN 长度的最小值变式迁移 2 如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB，AF1，M 是线段 EF 的中点2求证：(1)AM平面 BDE；(2)AM面 BDF.探究点三 利用向量法解探索性问题例 3 如图，平面 PAC平面 ABC，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形， E，F，O 分别为 PA，PB，AC 的中点，AC16，PAPC10. (1)设 G 是 OC 的中点，证明 FG平面 BOE； (2)在AOB 内是否存在一点 M，使 FM平面 BOE？若存在，求出点 M 到 OA，OB
7、的距离；若不存在，说明理由变式迁移 3 已知在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D 为 A1C1的中点，E 为 B1C 的中点 (1)求直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦值； (2)在线段 AA1上是否存在点 F，使 CF平面 B1DF？若存在，求出 AF；若不存在，请 说明理由1向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向 量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法 2利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准 确表示涉及到的几何量(2)通过向量
8、的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系(3)根 据运算结果解释相关几何问题(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分) 1下列命题：若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有0；ABBCCDDA|a|b|ab|是 a、b 共线的充要条件； 若 a、b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、B、C，若xyz(其中OPOAOBOCx、y、zR)则 P、A、B、C 四点共面其中不正确命题的序号为_ 2若 A、B、C、D 是空间中不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD 的形状是_三角形ABACACADABAD3. 如图所示，在三棱柱 ABCA1B
9、1C1中，AA1底面 ABC，ABBCAA1，ABC90，点 E、F 分别是棱 AB、BB1的中点，则直线 EF 和 BC1所成的角等于_4设点 C(2a1，a1,2)在点 P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1,4)确定的平面上，则 a_. 5在直角坐标系中，A(2,3)，B(3，2)，沿 x 轴把直角坐标系折成 120的二面角，则 AB 的长度为_ 6. (2010信阳模拟)如图所示，已知空间四边形 ABCD，F 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，若()，则 _.EFABDC7(2010铜川一模)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：()； ()；A1D1
10、A1AABBCBB1D1C1()2； ().ADABDD1B1D1A1ADD1其中能够化简为向量的是_(填所有正确的序号)BD18(2010丽水模拟) 如图所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面，AB2，E 为 PB的中点，cos， ，若以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直DPAE33 角坐标系，则点 E 的坐标为_二、解答题(共 42 分) 9(14 分) 如图所示，已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1上， 点 F 在 CC1上，且 AEFC11. (1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)若点 G 在 BC 上，BG ，
11、点 M 在 BB1上，GMBF，垂足为 H，求证：EM平面23 BCC1B1.10(14 分)(2009福建)如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且 MDNB1，E 为 BC 的中点 (1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值； (2)在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不 存在，请说明理由11. (14 分)如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是 AB、CD 的中点 (1)求证：MNAB，MNCD； (2)求 MN 的长； (3)求异面直线
12、 AN 与 CM 所成角的余弦值学案学案 4343 空间向量及其运算空间向量及其运算 答案答案自主梳理1(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)存在实数 ，使 ba (4)xy 1 OMMAMB(5)xe1ye2ze3 2(1)a1b1a2b2a3b3 (2)ab a1b1 a2b2 a3b3 (R) ab0 a1b1a2b2a3b30(3) a2 1a2 2a2 3a1b1a2b2a3b3a2 1a2 2a2 3 b2 1b2 2b2 3a2a12b2b12c2c12自我检测1. 1632解析 ab， ，x ，y .2x112y3916322 a bc1212解析 B1MB1A1A1AAM
13、A1B1A1A(12AB12AD)ac (ab) a bc.1212123.97解析 ，ACABBCCCABADAA|222222232425223ACABADAAABADADAAAAAB4cos 60245cos 60235cos 6097，|.AC974 解析 正确中若 a、b 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立正确中若 M、A、B 共线，点 P 不在此直线上，则xy不正确MPMAMB5共面解析 (3,4,5)，(1,2,2)，(9,14,16)，设xy，ABACADADABAC即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y) Error!，从而 A、B、C、D 四点共面 课堂活动区 例 1 解题导引 欲证 ab，只要把 a、b 用相同的几个向量表示，然后利用向量的 数量积证明 ab0 即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法
