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1、第 2 讲 一元二次不等式及其解法知 识 梳 理1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)(2)计算相应的判别式(3)当 0 时，求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集2三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象续表一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2b2a没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或 xx1x|x b2aRax2bxc0(a0)的解集x|x
2、1xx2辨 析 感 悟1对一元二次不等式的解法的理解(1)(教材习题改编)不等式x25x60 的解集为x|x6，或 x1()(2)若不等式 ax2bxc0 的解集为(x1，x2)，则必有 a0.()(3)若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0 的两个根是 x1和 x2.()(4)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为R.()2对一元二次不等式恒成立问题的认识(5)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.()(6)若关于 x 的不等式 ax2x10 的解集为 R，则 a .()14(7)
3、若不等式 x2ax10 对 x恒成立，则 a 的最小值为 .()(0，1252感悟提升三个防范 一是当 0 时，不等式 ax2bxc0(a0)的解集为 R 还是，要注意区别，如(4)中当 a0 时，解集为 R；当 a0 时，解集为.二是对于不等式 ax2bxc0 求解时不要忘记讨论 a0 时的情形，如(5)中当ab0，c0 时，不等式 ax2bxc0 在 R 上也是恒成立的三是解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨佛论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.考点一 一元二次不等式的解法【例 1】 (2014大连模拟)已知函数 f(x)(ax1)(
4、xb)，如果不等式 f(x)0 的解集是(1,3)，则不等式 f(2x)0 的解集是_解析 由 f(x)0，得 ax2(ab1)xb0，又其解集是(1,3)，a0.且Error!Error!解得 a1 或 ，13a1，b3.f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，得 4x24x30，解得 x 或 x .1232答案 (，32) (12，)规律方法 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集【训练 1】 (2013江西卷改编)使不等式 x0 时，原不等式可化为 x21x3，解得 x，当
5、x0 时，原不等式可化为Error!Error!解得 x1.答案 (，1)考点二 含参数的一元二次不等式的解法【例 2】 (2013烟台期末)解关于 x 的不等式：ax222xax(aR)解 原不等式可化为 ax2(a2)x20.当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1.当 a0 时，原不等式化为(x1)0，解得 x 或 x1.(x2a)2a当 a0 时，原不等式化为(x1)0.(x2a)当 1，即 a2 时，解得1x ；2a2a当 1，即 a2 时，解得 x1 满足题意；2a当 1，即 a2，解得 x1.2a2a综上所述，当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 a0 时，不等式的解集
6、为Error!Error!；当2a0 时，不等式的解集为Error!Error!；当 a2 时，不等式的解集为x|x1；当 a2 时，不等式的解集为Error!Error!.规律方法 解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是小于 0，等于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 与 0 的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式【训练 2】 (1)(2013重庆卷改编)关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x
7、115，则 a 等于_(2)解关于 x 的不等式(1ax)21.(1)解析 法一 不等式 x22ax8a20 的解集为(x1，x2)，x1，x2是方程x22ax8a20 的两根由根与系数的关系知Error!Error!x2x115，又a0，a .x1x224x1x22a248a252法二 由 x22ax8a22，因此 x2x 的解集为(1,3)(1)若方程 f(x)6a0 有两个相等的根，求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围解 (1)f(x)2x0 的解集为(1,3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0，因而 f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程 f(x)6a0，得 ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的根，所以 (24a)24a9a0，即 5a24a10，解得 a1 或 a .15由于 a0，舍去 a1，将 a 代入，15得 f(x) x2 x .156535yyGwo(2)由 f(x)ax22(12a)x3aa2及 a0，可得 f(x)的(x12aa)a24a1a最大值为.a24a1a由Error!Error!解得 a2或2a0.33故当 f(x)的最大值为正数时，实数 a 的取值范围是(，2)(2，0).33
