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1、第 1 讲 空间几何体及其表面积与体积知 识 梳 理1多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台2旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面不垂直
2、于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球3柱、锥、台和球的侧面积和体积面 积体 积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlV Sh r2h1313 r213l2r2圆台S侧(r1r2)lV (S上S下)h13S上S下 (r r r1r2)h 132 12 2直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧 Ch12V Sh13续表正棱台S侧 (CC)h12V (S上S下)13S上S下h球S球面4R2V R3434.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、
3、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和辨 析 感 悟1柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2S.()(2)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 3a2.()2柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为 4，则它的表面积为 12.()3(4)在ABC 中，AB2，BC3，ABC120，使ABC 绕直线 BC 旋转一周所形成的几何体的体积为 9.()3柱体、锥体、台体的展开与折叠(5)将圆心角为，面积为 3 的扇形作为圆锥的侧面，
4、则圆锥的表面积等于234.()(6)(2014青州模拟改编)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使BDa，则三棱锥 DABC 的体积为a3.()312感悟提升两点注意 一是求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系考点一 空间几何体的结构特征【例 1】 给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥侧面都是矩形的直四棱柱是长方体底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_解析 对于，平行六面体
5、的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；正确答案 规律方法 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可【训练 1】 设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析 命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形
6、，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的答案 考点二 几何体的表面积与体积【例 2】 如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中 BD 是圆的直径，ABD60，BDC45，ADP BAD.(1)求线段 PD 的长；(2)若 PCR，求三棱锥 PABC 的体积11解 (1)BD 是圆的直径，BAD90，又ADPBAD，ADBADPADPDABAD90，DP3R.AD2BABDsin 602BDsin 304R2 342R 12DP 的长为 3R.(2)在 RtBCD 中，BCCDBDcos 45R，2PD2CD29R22R211R2PC2，PDCD，又P
7、DA90，ADCDD，PD底面 ABCD，则 SABC ABBCsin(6045)12 RRR2.122(32221222)314所以三棱锥 PABC 的体积为VPABC SABCPD R23RR3.1313314314规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法” 、 “分割法” 、 “补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视【训练 2】 (2014苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm，高是 cm.32(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积解 (1)设 O1、O 分别为正三棱台 ABCA1B1C
8、1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则 O1O ，过 O1作 O1D1B1C1，ODBC，则 D1D 为三棱台的斜高；32过 D1作 D1EAD 于 E，则 D1EO1O ，32因 O1D13，OD6，3632363则 DEODO1D1.在 RtD1DE 中，33232D1D(cm)D1E2ED2(32)2(32)23(2)设 c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧 (cc)h (3336)(cm2)，1212327 32S表S侧S上S下3262(cm2)故三棱台斜高为 27 32343499 343cm，侧面积为 cm2，表面积为 cm2.27 3299 34考点三 球与空间几何体的
9、接、切问题【例 3】 (1)(2013新课标全国卷)已知正四棱锥 OABCD 的体积为，底面3 22边长为，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_3(2)(2013辽宁卷改编)已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为_审题路线 (1)根据正四棱锥的体积求高求底面正方形的对角线长由勾股定理求 OA由球的表面积公式求解(2)BC 为过底面 ABC 的截面圆的直径取 BC 中点 D，则球心在 BC 的垂直平分线上，再由对称性求解解析 (1)设正四棱锥的高为 h，则 ()2h，解得 h.1333 223 2
10、2又底面正方形的对角线长为.236所以 OA.(3 22)2(62)26故球的表面积为 S球4()224.6(2)因为在直三棱柱中 AB3，AC4，AA112，ABAC，所以 BC5，且 BC为过底面 ABC 的截面圆的直径，取 BC 中点 D，则 OD底面 ABC，则 O 在侧面 BCC1B1内，矩形 BCC1B1的对角线长即为球的直径，所以2r13，即 r.12252132答案 (1)24 (2)132规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系
11、)，达到空间问题平面化的目的【训练 3】 (2012辽宁卷)已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2的正方形若 PA2，则OAB 的面36积为_解析 根据球的内接四棱锥的性质求解如图所示，线段 PC 就是球的直径，设球的半径为 R，因为 ABBC2，3所以 AC2.又 PA2，66所以 PC2PA2AC2242448，所以 PC4，3所以 OAOB2，所以AOB 是正三角形，3所以 S 223.1233323答案 33考点四 几何体的展开与折叠问题【例 4】 (1)如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相
12、交于 O，剪去AOB，将剩余部分沿 OC，OD 折叠，使 OA，OB 重合，则以 A，B，C，D，O 为顶点的四面体的体积为_(2)如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为直角三角形，ACB90，AC4，BCCC13.P 是 BC1上一动点，沿棱柱表面使CPPA1最小，则最小值为_解析 (1)折叠后的四面体如图所示OA，OC，OD 两两相互垂直，且 OAOCOD2，体积 V SOCDOA213 (2)3.131228 23(2)由题意知，A1P 在几何体内部，把面 BB1C1C 沿 BB1展开与面 AA1B1B 在一个平面上，如图所示，连接 A1C 即可则 A1、P、C 三点共线
13、时，CPPA1最小，ACB90，AC4，BCC1C3，A1B1AB5，A1C1538，4232A1C.故 CPPA1的最小值为.82327373答案 (1) (2)8 2373规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题【训练 4】 如图为一几何体的展开图，其中 ABCD 是边长为 6 的正方形，SDPD6，CRSC，AQAP，点 S，D，A，Q 共线，点 P，D，C，R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使
14、P，Q，R，S 四点重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为 6 的正方体解析 由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥PABCD(如图所示)，其中 PD平面 ABCD，因此该四棱锥的体积 V 66672，而棱长为 613的正方体的体积 V666216，故需要3 个这样的几何体，才能拼成21672一个棱长为 6 的正方体答案 31对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决2求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体
15、积3与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 方法优化 5特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012山东卷)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_一般解法 三棱锥 D1EDF 的体积即为三棱锥 FDD1E 的体积因为 E，F分别为 AA1，B1C 上的点，所以在正方体 ABCDA1B
