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1、第 5 讲 指数与指数函数知 识 梳 理1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根n1 且 nN*当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数na零的 n 次方根是零当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数na负数没有偶次方根(2)两个重要公式Error!Error!n 为偶数nan()na.na2有理数指数幂(1)幂的有关概念零指数幂：a01(a0)负整数指数幂：ap(a0，pN*)；1ap正分数指数幂：a (a0，m，n N*，且 n1)；mnnam负分数指数幂：(a0，m，nN，且 n1)
2、；anm anm11nam0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象续表定义域R值域(0，)过定点(0,1)当 x0 时，y1；x0 时，0y1当 x0 时，0y1；x0 时，y1性质在(，)上是增函数在(，)上是减函数辨 析 感 悟1指数幂的应用辨析(1)()42.()42(2)(教材探究改编)()a.()nan2对指数函数的理解(3)函数 y32x是指数函数()(4)yx是 R 上的减函数()(1a)(5)指
3、数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在 y 轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小()(6)(2013金华调研)已知函数 f(x)4ax1(a0 且 a1)的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是(1,5)()感悟提升1 “”与“n”的区别 当 n 为奇数时，或当 n 为偶数且 a0 时，nan(na)a，当 n 为偶数，且 a0 时，a，而()na 恒成立如(1)中nannanna不成立，(2)中.4262232322两点注意 一是指数函数的单调性是底数 a 的大小决定的，因此解题时通常对底数 a 按 0a1 和 a1 进行分类讨论，如(4)；二是指数函数
4、在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在 y 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大如(5)考点一 指数幂的运算【例 1】 (1)计算：；22(2)若3，求的值解 (1)原式222 42.32152(2)由3，得 xx129，xx17，x2x2249，x2x247.27918，原式 .18247325规律方法 进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及 apap1(a0)简化运算【训
5、练 1】 化简：_.答案 9a考点二 指数函数的图象及其应用【例 2】 (1)(2014泰安一模)函数 f(x)axb的图象如图，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是_a1，b0；a1，b0；0a1，b0；0a1，b0.(2)比较下列各式大小1.72.5_1.73；0.61_0.62；0.80.1_1.250.2；1.70.3_0.93.1.解析 (1)由 f(x)axb的图象可以观察出，函数 f(x)axb在定义域上单调递减，所以 0a1.函数 f(x)axb的图象是在 f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以 b0.(2)，函数 y1.7x是增函数，2.50.62.(0.8)11.25
6、，问题转化为比较 1.250.1与 1.250.2的大小y1.25x是增函数，0.11,0.93.10.93.1.答案 (1) (2) 规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解【训练 2】 已知实数 a，b 满足等式 2 011a2 012b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有_解析 设 2 011a2 012bt，如图所示，由函数图象，可得(1)若 t1，
7、则有 ab0；(2)若 t1，则有 ab0；(3)若 0t1，则有ab0.故可能成立，而不可能成立答案 考点三 指数函数的性质及其应用【例 3】 已知函数 f(x)x3.(12x112)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)0.审题路线 由 2x10 可求 f(x)的定义域分别求 g(x) 与 h(x)x3的12x112奇偶性可利用 g(x)g(x)0 判断 g(x)的奇偶性利用“奇奇偶，奇偶奇”判断 f(x)的奇偶性先证 x0 时，f(x)0再证 x0 时，f(x)0.解 (1)由 2x10 可解得 x0，定义域为x|x0(2)令 g(x) ，h(
8、x)x3.12x112则 h(x)为奇函数，g(x)g(x) 10.12x11212x1122x12x12x1g(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数(3)证明 当 x0 时，2x10，x30，(12x112)即 f(x)0.又f(x)是偶函数，当 x0 时，f(x)f(x)0，f(x)在(，0)(0，)上恒大于零f(x)0.规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.【训练 3】 已知定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数2xb2x1a(
9、1)求 a，b 的值；(2)解关于 t 的不等式 f(t22t)f(2t21)2t21，即3t22t10，解不等式可得Error!Error!.1判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令 x1 得到底数的值再进行比较2对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成3画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(1，1a)4熟记指数函数 y10x，y2x，yx，yx在同一坐标系中图象的相对(110)(12)位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系 易错辨析 2忽略讨论及验证致误【典例】 (2012山东卷)若函数 f(x)
10、ax(a0，a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14m)在0，)上是增函数，则 a_.x解析 若 a1，有 a24，a1m，此时 a2，m ，此时 g(x)为减12x函数，不合题意若 0a1，有 a14，a2m，故 a ，m，检验知符14116合题意答案 14易错警示 (1)误以为 a1，未进行分类讨论从而求得错误答案(2)对条件“g(x)在0，)上是增函数”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案防范错施 (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分 a1 和 0a1 两种情况讨论(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，
11、熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础【自主体验】当 x2,2时，ax0，且 a1)，则实数 a 的范围是_解析 x2,2时，ax0，且 a1)，若 a1 时，yax是一个增函数，则有 a2，故有a1.综上知2222a(1，)(22，1)2答案 (1，)(22，1)2基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1(2014郑州模拟)在函数f(x) ；f(x)x24x4；f(x)2x；f(x)1x中，满足“对任意的 x1，x2(0，)，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)”的是_解析 由条件可知在(0，)上，函数 f(x)递增，所以满足答案 2函数 yax (a0，a
12、1)的图象可能是_1a解析 当 a1 时单调递增，且在 y 轴上的截距为 01 1 时，故，不1a正确；当 0a1 时单调递减，且在 y 轴上的截距为 1 0，故不正确；正1a确答案 3.(a0)的值是_a3a5a4解析 答案4设 2a5bm，且 2，则 m 等于_1a1b解析 2a5bm，alog2m，blog5m， logm2logm5logm102.1a1b1log2m1log5mm.10答案 105函数 yaxb(a0 且 a1)的图象经过第二、三、四象限，则 ab的取值范围为_解析 函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与 y 轴的交点在负半轴上而当 x0 时，ya0b1b
13、，由题意得Error!Error!解得Error!Error!所以ab(0,1)答案 (0,1)6(2014济南一模)若 a30.6，blog30.2，c0.63，则 a、b、c 的大小关系为_解析 30.61，log30.20,00.631，所以 acb.答案 acb7(2014盐城模拟)已知函数 f(x)ax(a0，且 a1)，且 f(2)f(3)，则a 的取值范围是_解析 因为 f(x)axx，且 f(2)f(3)，所以函数 f(x)在定义域上单调递(1a)增，所以 1，解得 0a1.1a答案 (0,1)8函数 f(x)ax(a0，a1)在1,2中的最大值比最小值大 ，则 a 的值为a2
14、_解析 当 0a1 时，aa2 ，a 或 a0(舍去)a212当 a1 时，a2a ，a 或 a0(舍去)a232综上所述，a 或 .1232答案 或1232二、解答题9设 f(x)是定义在 R 上的函数exaaex(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若 f(x)是偶函数，求 a 的值解 (1)假设 f(x)是奇函数，由于定义域为 R，f(x)f(x)，即，exaaex(exaaex)整理得(exex)0，(a1a)即 a 0，即 a210，显然无解1af(x)不可能是奇函数(2)因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)，即，整理得(exex)0，exaaexexaaex(a1a)又对任意 xR 都成立，有 a 0，得 a1.1a10设 a0 且 a1，函数 ya
