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1、第 1 讲 集合及其运算知 识 梳 理1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系为属于或不属于关系，分别用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法(4)常用数集：自然数集 N、正整数集 N*(或 N)、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集2集合间的基本关系(1)子集：对任意的 xA，有 xB，则 AB(或 BA)(2)真子集：若 AB，且 AB，则 AB(或 BA)(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集即A，B(B)(4)若 A 含有 n
2、 个元素，则 A 的子集有 2n个，A 的非空子集有 2n1 个(5)集合相等：若 AB，且 BA，则 AB.3集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：ABx|xA，或 xB；交集：ABx|xA，且 xB；补集：UAx|xU，且 xAU 为全集，UA 表示 A 相对于全集 U 的补集(2)集合的运算性质并集的性质：AA；AAA；ABABA.交集的性质：A；AAA；ABAAB.补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.辨 析 感 悟1元素与集合的辨别(1)若x2,10,1，则 x0,1.()(2)含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n，真子集个数是 2n1，非空真子集的个数
3、是 2n2.()(3)若 Ax|yx2，B(x，y)|yx2，则 ABx|xR()2对集合基本运算的辨别(4)对于任意两个集合 A，B，关系(AB)(AB)总成立()(5)(2013浙江卷改编)设集合 Sx|x2，Tx|4x1，则 STx|2x1()(6)(2013陕西卷改编)设全集为 R，函数 f(x)的定义域为 M，则1x2RMx|x1，或 x1()感悟提升1一点提醒 求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件如第(3)题就是混淆了数集与点集2两个防范 一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法
4、时要特别注意端点是实心还是空心，如(6).考点一 集合的基本概念【例 1】 (1)(2013江西卷改编)若集合 AxR|ax2ax10中只有一个元素，则 a_.(2)(2013山东卷改编)已知集合 A0,1,2，则集合 Bxy|xA，yA中元素的个数是_解析 (1)由 ax2ax10 只有一个实数解，可得当 a0 时，方程无实数解；当 a0 时，则 a24a0，解得 a4.(a0 不合题意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案 (1)4 (2)5规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性【训练 1】 已知
5、 aR，bR，若a2，ab,0，则 a2 014b2 a，ba，1014_.解析 由已知得 0 及 a0，所以 b0，于是 a21，即 a1 或 a1，又ba根据集合中元素的互异性可知 a1 应舍去，因此 a1，故 a2 014b2 0141.答案 1考点二 集合间的基本关系【例 2】 (1)已知集合 Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若 BA，求实数 m 的取值范围(2)设 UR，集合 Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求 m 的值解 (1)当 B时，有 m12m1，则 m2.当 B时，若 BA，如图则Error!Error!解得 2m4.综上，m 的取值范围是(，4
6、(2)A2，1，由(UA)B，得 BA，方程 x2(m1)xm0 的判别式 (m1)24m(m1)20，B.B1或 B2或 B1，2若 B1，则 m1；若 B2，则应有(m1)(2)(2)4，且 m(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若 B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且 m(1)(2)2，由这两式得 m2.经检验知 m1 和 m2 符合条件m1 或 2.规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)
7、时，要对参数进行讨论【训练 2】 (1)已知集合 Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件 ACB 的集合 C 的个数为_(2)(2014郑州模拟)已知集合 A1,1，Bx|ax10，若 BA，则实数a 的所有可能取值的集合为_解析 (1)由题意知：A1,2，B1,2,3,4又 ACB，则集合 C 可能为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)a0 时，Bx|10A；a0 时，BError!Error!A，则 1 或1a 1，故 a0 或 a1 或1.1a答案 (1)4 (2)1，0，1考点三 集合的基本运算【例 3】 (1)(2013山东卷改编)已知集合 A，B
8、均为全集 U1,2，3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则 AUB_.(2)(2014唐山模拟)若集合 My|y3x，集合 Sx|ylg(x1)，则下列各式正确的是_MSM；MSS；MS；MS审题路线 (1)Error!Error!AUB3；(2)先分别求出集合 M，S，再判断各式解析 (1)由U(AB)4知 AB1,2,3又 B1,2，3A，UB3,4，AUB3(2)My|y0，Sx|x1，故只有正确答案 (1)3 (2)规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用 Venn 图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况【训练 3】 (1)已知全集 U0,1,2
9、,3,4，集合 A1,2,3，B2,4，则(UA)B 为_(2)已知全集 UR，集合 Ax|1x3，集合 Bx|log2(x2)1，则A(UB)_.解析 (1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)由 log2(x2)1，得 0x22,2x4，所以 Bx|2x4故UBx|x2，或 x4，从而 A(UB)x|1x2答案 (1)0,2,4 (2)x|1x2数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思
10、想方法解决 创新突破 1与集合有关的新概念问题【典例】 已知集合 A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则 B中所含元素的个数为_解析 法一(列表法) 因为 xA，yA，所以 x，y 的取值只能为 1,2,3,4,5，故x，y 及 xy 的取值如下表所示：12345101234210123321012432101543210由题意 xyA，故 xy 只能取 1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有 10 个，即 B 中的元素个数为 10.法二(直接法) 因为 A1,2,3,4,5，所以集合 A 中的元素都为正数，若xyA，则必有 xy0，xy.当 y1 时
11、，x 可取 2,3,4,5，共有 4 个数；当 y2 时，x 可取 3,4,5，共有 3 个数；当 y3 时，x 可取 4,5，共有 2 个数；当 y4 时，x 只能取 5，共有 1 个数；当 y5 时，x 不能取任何值综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为432110.答案 10反思感悟 (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力【自主体验】设 A 是整数集的
12、一个非空子集，对于 kA，如果 k1A，且 k1A，那么称k 是 A 的一个“好元素” 给定 S1,2,3,4,5,6,7,8，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_个解析 依题，可知由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“好元素” ，则这 3个元素一定是相连的 3 个数故这样的集合共有 6 个答案 6基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1(2013安徽卷改编)已知 Ax|x10，B2，1,0,1则(RA)B_.解析 因为 Ax|x1，则RAx|x1，所以(RA)B2，1答案 2，12已知集合 M1,2,3，N2,3,4，则下列各式不正确的是_MN；
13、NM；MN2,3；MN1,4解析 由已知得 MN2,3，故选.答案 3已知集合 M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则 P 的子集个数有_解析 PMN1,3，故 P 的子集共有 4 个答案 44已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x1，则 A 与 B 的关系是_解析 集合 Ax|1x2，Bx|1x1，则 BA.答案 BA5设集合 Ax|x22x80，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为_解析 阴影部分是 ARB.集合 Ax|4x2，RBx|x1，所以ARBx|1x2答案 x|1x26(2013湖南卷)已知集合 U2,3,6,8，A2,3，B2,6,8，则(UA)B_.解析 由集合的运算，可得(UA)B6,82,6,86,8答案 6,87集合 A0,2，a，B1，a2，若 AB0,1,2,4,16，则 a 的值为_解析 根据并集的概念，可知a，a24,16，故只能是 a4.答案 48
