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1、空间的角和距离空间的角和距离 A A 一、知识梳理一、知识梳理1异面直线所成的角：,a b（1）定义：过空间上一点 P（注意取图形中的特殊点）作、，则与1/aa1/bb1a所成的锐角或直角就叫做异面直线所成的角范围。1b,a b（2）范围：(0,2（3）求法：平移法： 向量法：两直线所在的向量的夹角，异面直线所成的角与夹角相等或互补。2直线与平面所成的角：（1）定义：若直线是平面的斜线，其求法是：找出直线在平面内的射影，PAAO 则锐角就是直线与平面所成的角。若或，则直线与PAOPA/aaa平面所成的角为；若，则直线与平面所成的角为；0aa2（2）范围：0,2（3）求法： 定义法； 向量法：
2、找出射影，求线线角； 求出平面的法向量 ，直线的方向向量 ，设线面角为,则.|cos,| | |n asinn ana 3二面角： （1） 、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条 射线所成的角就是二面角的平面角。 （注意二面角的五个条件） （2） 、三垂线定理及逆定理法（选学内容）：自二面角的一个面上的一点向另 一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足 与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 （3） 、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成 的角就是二面角的平面角。（4） 、投影法：利用 s投影面=s被投影面这
3、个公式对于斜面三角形，任意多边cosa n 形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 （5） 、异面直线距离法：EF2=m2+n2+d22mncos（6） 、向量法：设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向21,nn , l 量 的夹角为，则有（图 1）或 （图 2）21,nn 图 1 图 2构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角具体情况要根据题中所成二面角的大小来确定,向量求出的二面角是一个重要的参考值.4 4空间的距离空间的距离 （A）点到平面的距离求法： （1）直接法：过点作平面的垂线，垂足，则是点到平面的距离；PAPAP （2）等体积法：利用三棱锥的
4、体积相等，求点到平面的距离。 （3）转移法：（4）向量法：点 M 到面的距离cos = |（就是斜线段 MN 在法向量 方向上的正投影.由cos 得距离公式： = | =| |（B）线面距离，面面距离可以转化为点到平面的距离求法 二、题型探究二、题型探究 探究一探究一 线线角线线角 例 1：如图 1，在三棱锥 SABC 中，l l2n1nl l1n2nSACB SABSACACB90，AC 2，BC 13，SB 29，求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。图 1 图 2解法解法 1：用公式：用公式当直线 AB平面 A，AB 与所成的角为1，l 是内的一条直线，l 与AB 在内的射影AB所
5、成的角为2，则异面直线 l 与 AB 所成的角满足coscoscos12。以此为据求解， 由题意，知SA平面 ABC，AC BC，由三垂线定理，知SC BC，所以BC平面 SAC。因为ACBCSB21329，由勾股定理，得 ABSASC172 34，。在Rt SAC中，cosSCAACSC12，在Rt ACB中，中，cosCABACAB217。设 SC 与 AB 所成角为，则，coscoscosSCACAB1717 解法解法 2：平移：平移 过点 C 作 CD/BA，过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于 D，连结 SD，则SCD是异 面直线 SC 与 AB 所成的角，又四边形 ABCD 是
6、平行四边形。由勾股定理，得：DCABSASD172 35，。SABCD在SCD中，由余弦定理，得：cos SCDSCDCSD SC DC222217 17。点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角； （3）解三角形（常用余弦定理） ，求出所构造角的度数题型二题型二 线面角线面角（1） 直接法直接法 ： 平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是 解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最 重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例例 1 （
7、 如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45, SBC=60, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。 （2）SC 与平面 ABC 所成的角。 解:（1） SCSB,SCSA, BMHSCA图 1SC平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影， SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60。 （2） 连结 SM,CM，则 SMAB, 又SCAB,AB平面 SCM, 面 ABC面 SCM 过 S 作 SHCM 于 H, 则 SH平面 ABCCH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 SCH 为SC与平面ABC所
8、成的角。 sin SCH=SHSC SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为77 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根 据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找 出或作出交线的垂线，则得面的垂线。 ）（2）. 利用公式利用公式sin=h=h 其中是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，是斜线段的长，其中求出 垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体 积自等来求垂线段的长。 例例 2 （ 如图 2） 长方体 ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，
9、求 AB 与面 AB1C1D 所成的角。 解：设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h,VBAB1C1=VABB1C113 SAB1C1h= 13 SBB1C1AB，易得 h=125 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为,则sin=hAB=45 A1 1C1 1D1 1H4CB1 123BAD图2AB 与面 AB1C1D 所成的角为 arcsin 45 （3）. 利用公式利用公式 cos=cos=cos1 1 coscos2 2 （如图3） 若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面内的射影，OC为面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角， 图31为OA与OB所成的角，即线面角，
10、 2为OB与OC所成的角，那么 cos=cos1cos2 （同学们可自己证明） ， 它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最 小的角（常称为最小角定理）BOACABCDEFxyzG例例 3（如图 4） 已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60, ，求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。 解：AOB=AOC OA 在面 OBC 内的射影 在BOC 的平分线 OD 上，则AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角，可知 DOC=30 ,cosAOC=cosAODcosDOC cos60=cosAODcos30 cosAOD= 33 OA 与 面 OB
11、C 所成的角 的余弦值为33。图 4 （4）向量法： 找出射影，求线线角；求出平面的法向量，直线的方向向量，设线na面角为,则.|cos,| | |n asinn ana 题型探究三题型探究三：二面角：二面角： 例 4 （2009 重庆卷文） （本小题满分 13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）如题（18）图，在五面体ABCDEF中，ABDC，2BAD，2CDAD，四边形ABFE为平行四边形，FA 平面ABCD，3,7FCED求：二面角FADE的平面角的正切值解法一:由己知，FA 平面ABCD，得FA AD，又由 2BAD，知ADAB，故AD 平面 ABFEDAAE，所以，FAE为二面
12、角 FADE的平面角，记为.在RtAED中, 22743AEEDAD,由ABCDA得,FEBAA,从而2AFE在RtAEF中, 223 12FEAEAF ,故tan2FE FA所以二面角FADE的平面角的正切值为2.a n ODACB解法二: 如图以 A 点为坐标原点,AB AD AF 的方向为, ,x y z的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设00(0,0,)(0)Fzz ，因四边形ABFE为平行四边形,则可设00(,0,1)(0)E xx ,0(2, 1)EDx .由|7ED 得22 0217x ,解得02x .即(2,0,1)E .故
13、(2,0,1)AE 由(0,2,0)AD ,(0,0,1)AF 因0AD AE ,0AD AF ,故FAE为二面角FADE的平面角，又( 2,0,0)EF ,|2EF ,| 1AF ,所以|tan2|EFFAEFA 点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体 积求得，体积法不用得到垂线。 题型探究四题型探究四：空间距离：空间距离三、方法提升：三、方法提升： 1转化思想： 线线平行线面平行面面平行, 线线线面面面 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形 2求角的三个步骤：一猜,二证,三算猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平 行,垂直,对称关
14、系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后 再证 3二面角的平面角的主要作法：定义 三垂线定义 垂面法4、反思感悟：反思感悟：五、课时作业：五、课时作业： 一、填空题一、填空题 1如图，直线 a、b 相交与点 O 且 a、b 成 600，过点 O 与a、b都成 600角的直线有 （ C ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 2 （江苏理）正三棱锥 P-ABC 高为 2，侧棱与底面所成角为，则点 到侧面的距离是（ B ）45APBCA B C6 D545664 3 （全国理）如图，正四棱柱中，1111DCBAABCD ，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）ABAA2111ADBA与A B C D515253 54
