《【优化方案】2015高考数学（人教版）一轮复习学案14 导数在研究函数中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优化方案】2015高考数学（人教版）一轮复习学案14 导数在研究函数中的应用（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 14 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 0 导学目标： 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函 数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值 自主梳理 1导数和函数单调性的关系： (1)若 f(x)0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是_函数，f(x)0 的解集与定 义域的交集的对应区间为_区间； (2)若 f(x)1. 1 2 (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)证明：若 a1. fx1fx2 x1x
2、2 多角度审题 (1)先求导，根据参数 a 的值进行分类讨论；(2)若 x1x2，结论等价于 f(x1) x1f(x2)x2，若 x11，故 10，故 f(x)在(a1,1)上单调递减，在(0，a1)，(1，)上单调递 增 若 a11，即 a2 时，同理可得 f(x)在(1，a1)上单调递减， 在(0,1)，(a1，)上单调递增6 分 (2)证明 考虑函数 g(x)f(x)x x2ax(a1)ln xx. 1 2 则 g(x)x(a1)2(a1) a1 x xa1 x 1(1)2. a1 由于 10， 即 g(x)在(0，)上单调递增， 从而当 x1x20 时，有 g(x1)g(x2)0， 即
3、 f(x1)f(x2)x1x20， 故1.10 分 fx1fx2 x1x2 当 01. fx1fx2 x1x2 fx2fx1 x2x1 综上，若 a1.12 分 fx1fx2 x1x2 【突破思维障碍】 (1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于 0 或小于 0 的不等式的解集，一般就是归 结为一个一元二次不 等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于 0 的根的情况下，根的大小是分 类的标准； (2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解 决不等式问题 1求可导函数单调区间的一般步骤和方法： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求 f(x)，
4、令 f(x)0，求出它在定义域内的一切实根； (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序 排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间； (4)确定 f(x)在各个开区间内的符号，根据 f(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区 间内的增减性 2可导函数极值存在的条件： (1)可导函数的极值点 x0一定满足 f(x0)0，但当 f(x1)0 时，x1不一定是极值 点如 f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是极值点 (2)可导函数 yf(x)在点 x0处取得极值的充要条件是 f(x0)0，且在 x0左侧与右侧 f(
5、x)的 符号不同 3函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较 极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区 间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能 成为最值，最值只要不在端点必定是极值 4求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最 大的一个是最大值，最小的一个是最小值 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011大连模拟)设 f(x)，g(x)是 R 上的可导函数，f(x)、g(x)分别为 f(x)、g(x)的导 函数，且 f
6、(x)g(x)f(x)g(x)f(b)g(x)Bf(x)g(a)f(a)g(x) Cf(x)g(x)f(b)g(b)Df(x)g(x)f(a)g(a) 2.函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 ( ) A1 个B2 个 C3 个D4 个 3(2011嘉兴模拟)若函数 ya(x3x)在区间上为减函数，则 a 的取值范围是 ( 3 3 ， 3 3) ( ) Aa0B11D0 3 2 3 2 CmDm3BaDa0，求函数 yf(x)在区间(a1，a1)内的极值 答案答案 自主梳理 1(1)增 增 (2)
7、减 减 (3)增 减 2.(1)f(x)0 f(x)0 (2)f(x)0 f(x)0 极大值 极小值 自我检测 1C 2.D 3.C 4.C 518 解析 f(x)3x22axb， 由题意Error!即Error! 得 a4，b11 或 a3，b3. 但当 a3 时，f(x)3x26x30，故不存在极值， a4，b11，f(2)18. 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往 可以借助导数这一重要工具进行求解函数在定义域内存在单调区间，就是不等式 f(x)0 或 f(x)0，即(x22)ex0， ex0，x220，解得0， x2(a2)x
8、a0 对 x(1,1)都成立， 即 x2(a2)xa0 对 x(1,1)恒成立 设 h(x)x2(a2)xa 只须满足Error!，解得 a . 3 2 (3)若函数 f(x)在 R 上单调递减， 则 f(x)0 对 xR 都成立，即x2(a2)xaex0 对 xR 都成立 ex0，x2(a2)xa0 对 xR 都成立 (a2)24a0，即 a240，这是不可能的 故函数 f(x)不可能在 R 上单调递减 若函数 f(x)在 R 上单调递增，则 f(x)0 对 xR 都成立，即x2(a2)xaex0 对 xR 都成立 ex0，x2(a2)xa0 对 xR 都成立 而 x2(a2)xa0 不可能
9、恒成立， 故函数 f(x)不可能在 R 上单调递增 综上可知函数 f(x)不可能是 R 上的单调函数 变式迁移 1 解 (1)由题意得 f(x)3x22(1a)xa(a2)，又Error!， 解得 b0，a3 或 a1. (2)由 f(x)0，得 x1a，x2. a2 3 又 f(x)在(1,1)上不单调， 即Error!或Error! 解得Error!或Error! 所以 a 的取值范围为(5， )( ，1) 1 2 1 2 例 2 解题导引 本题研究函数的极值问题利用待定系数法，由极值点的导数值为 0，以及极大值、极小值，建立方程组求解判断函数极值时要注意导数为 0 的点不一定是 极值点，
10、所以求极值时一定要判断导数为 0 的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义 判断是极大值还是极小值 解 (1)由题意可知 f(x)3ax2b. 于是Error!，解得Error! 故所求的函数解析式为 f(x) x34x4. 1 3 (2)由(1)可知 f(x)x24(x2)(x2) 令 f(x)0 得 x2 或 x2， 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x(，2)2(2,2)2(2，) f(x) 00 f(x)单调递增 极大 值 单调递减 极小 值 单调递增 因此，当 x2 时， f(x)有极大值， 28 3 当 x2 时，f(x)有极小值 ， 4 3 所以函数的大
11、致图象如图， 故实数 k 的取值范围为 ( ，) 4 3 28 3 变式迁移 2 解 (1)f(x) 2bx1， a x Error!.解得 a ，b . 2 3 1 6 (2)f(x)( )1. 2 3x x 3 x1x2 3x 函数定义域为(0，)，列表 x(0,1)1(1,2)2(2，) f(x) 00 f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减 x1 是 f(x)的极小值点，x2 是 f(x)的极大值点 例 3 解题导引 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最 大值和最小值的步骤： (1)求函数 yf(x)在(a，b)内的极值 (2)将函数 y
12、f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值 解 (1)由 f(x)x3ax2bxc， 得 f(x)3x22axb， 当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab0； 当 x 时，yf(x)有极值，则 f0， 2 3 ( 2 3) 可得 4a3b40. 由解得 a2，b4， 又切点的横坐标为 x1，f(1)4. 1abc4.c5. (2)由(1)，得 f(x)x32x24x5， f(x)3x24x4. 令 f(x)0，得 x2 或 x ， 2 3 f(x)时，g(x)0， 22 从而 g(x)在区间(，)上是增函数 22 由前面讨
13、论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在 x1， ，2 时取得， 2 而 g(1) ，g()，g(2) . 5 32 4 2 3 4 3 因此 g(x)在区间1,2上的最大值为 g()， 2 4 2 3 最小值为 g(2) . 4 3 课后练习区 1C 2.A 3.A 4.A 5.B 63 解析 f(x)() x2a x1 ， x2ax1x2ax1 x12 x22xa x12 又x1 为函数的极值，f(1)0. 121a0，即 a3. 7 解析 观察函数 f(x)的导函数 f(x)的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断 8(，3)(6，) 解析 f(x)3x22mxm60 有两
14、个不等实根，则 4m212(m6)0，m6 或 m0，故 x2 是函数的极小值点，故 f(x)的极小值为 f(2) ；(8 分) 1 2 当 x(2,1)时 f(x)0，当 x(1，)时 f(x)0，得 x2 或 x0， 故 f(x)的单调递增区间是(，0)(2，)； 由 f(x)0，得 0x2, 故 f(x)的单调递减区间是(0,2)(8 分) (2)由(1)得 f(x)3x(x2)， 令 f(x)0， 得 x0 或 x2. 当 x 变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表： x(，0)0(0,2)2(2，) f(x) 00 f(x) A 极大值 A 极小值 A (10 分) 由此可得： 当 0a1 时，f(x)在(a1，a1)内有极大值 f(0)2，无极小值； 当 a1 时，f(x)在(a1，a1)内无极值； 当 1a3 时，f(x)在(a1，a1)内有极小值 f(2
