《【优化方案】2015高考数学（人教版）一轮复习学案11 函数与方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优化方案】2015高考数学（人教版）一轮复习学案11 函数与方程（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 11 函数与方程函数与方程 导学目标： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次 方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值 自主梳理 1函数零点的定义 (1)对于函数 yf(x) (xD)，把使_成立的实数 x 叫做函数 yf(x) (xD)的零点 (2)方程 f(x)0 有实根函数 yf(x)的图象与_有交点函数 yf(x)有_ 2函数零点的判定 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_， 那么函数 yf(x)在区间_内有零点，即存在 c(a，b)，使得_，这个_也就 是 f(x)0
2、的根我们不妨把这一结论称为零点存在性定理 3二次函数 yax2bxc (a0)的图象与零点的关系 000)的图象 与 x 轴的交点 _， _ _无交点 零点个数_ 4.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间a，b，验证_，给定精确度 ； 第二步，求区间(a，b)的中点 c； 第三步，计算_： 若_，则 c 就是函数的零点； 若_，则令 bc此时零点 x0(a，c)； 若_，则令 ac此时零点 x0(c，b)； 第四步，判断是否达到精确度 ：即若|ab|0，f(1.25)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_以上横 2 1 f 线上应填的内容为( ) A. B(0,1)
3、 f (0， 1 2) 2 1 f ( 1 2) C. D. ( 1 2，1) 4 3 f (0， 1 2) 4 1 f 探究点三 利用函数的零点确定参数 例 3 已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3a，如果函数 yf(x)在区间1,1上有 零点，求 a 的取值范围 变式迁移 3 若函数 f(x)4xa2xa1 在(，)上存在零点，求实数 a 的取值 范围 1全面认识深刻理解函数零点： (1)从“数”的角度看：即是使 f(x)0 的实数 x； (2)从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标； (3)若函数 f(x)的图象在 xx0处与 x 轴相切，则零点 x0
4、通常称为不变号零点； (4)若函数 f(x)的图象在 xx0处与 x 轴相交，则零点 x0通常称为变号零点 2求函数 yf(x)的零点的方法： (1)(代数法)求方程 f(x)0 的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)； (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 yf(x)的图象联系起来，并利 用函数的性质找出零点； (3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件 f(a)f(b)2，x25 Cx15 D25 5(2011厦门月考)设函数 f(x)Error!，g(x)log2x，则函数 h(x)f(x)g(x)的零点个数 是 ( ) A4B3C2D1 题号
5、12345 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x0 时，f(x)2 006xlog2 006x，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为_ 7(2011深圳模拟)已知函数 f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1 的零点分别为 x x1，x2，x3，则 x1，x2，x3的大小关系是_ 8(2009山东)若函数 f(x)axxa(a0，且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)已知函数 f(x)x3x2 . x 2 1 4 证明：存在 x0(0， )，使 f(x0)x0. 1
6、2 10(12 分)已知二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1 在区间1,1内至少存在一个 实数 c，使 f(c)0，求实数 p 的取值范围 11(14 分)(2011杭州调研)设函数 f(x)ax2bxc，且 f(1) ，3a2c2b，求证： a 2 (1)a0 且30 时，令2ln x0，解得 xe2， 所以已知函数有两个零点 2B 3.B 4.B 5.A 课堂活动区 例 1 解题导引 判断函数零点个数最常用的方法是令 f(x)0，转化为方程根的个数， 解出方程有几个根，函数 yf(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断： 方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，
7、要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方 法二是数形结合法，要注意作图技巧 解 方法一 设 f(x)ln x2x6， yln x 和 y2x6 均为增函数， f(x)也是增函数 又f(1)02640， f(x)在(1,3)上存在零点又 f(x)为增函数， 函数在(1,3)上存在唯一零点 方法二 在同一坐标系画出 yln x 与 y62x 的图象，由图可知两图象只有一个交点， 故函数 yln x2x6 只有一个零点 变式迁移 1 B 由题意知 f(x)是偶函数并且周期为 2.由 f(x)log3|x|0，得 f(x) log3|x|，令 yf(x)，ylog3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数
8、 y 轴右 边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在 x0，xR 的范围内共 4 个 例 2 解题导引 用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各 个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区 间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程； 在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的 区间a，b长度尽可能小，且满足 f(a)f(b)0， 所以函数在(0,1)内存在零点， 即方程 2x33x30 在(0,1)内有解 取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)0，所以方程 2x33x30 在(0.5,1)内
9、有解， 如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表. (a，b)(a，b) 的中点 f( ab 2 ) (0,1)0.5f(0.5)0 (0.5,0.75)0.625f(0.625)0，而 f(x)x3ln中的 x3及 ln在 ( 1 2) (x 1 2) (x 1 2) 上是增函数，故 f(x)在上也是增函数， ( 1 2，) ( 1 2，) 故 f(x)在上存在零点，所以 x0， (0， 1 2) (0， 1 2) 第二次计算应计算 0 和 在数轴上对应的中点 1 2 x1 . 01 2 2 1 4 例 3 解 若 a0，f(x)2x3，显然在1，1上没有零点，所以 a0. 令
10、48a(3a)8a224a40， 解得 a. 3 7 2 当 a时，f(x)0 的重根 x1,1， 3 7 2 3 7 2 当 a时，f(x)0 的重根 x1,1， 3 7 2 3 7 2 yf(x)恰有一个零点在1,1上； 当 f(1)f(1)(a1)(a5)1 或 a. 3 7 2 变式迁移 3 解 方法一 (换元) 设 2xt，则函数 f(x)4xa2xa1 化为 g(t)t2ata1 (t(0，) 函数 f(x)4xa2xa1 在(，)上存在零点，等价于方程 t2ata10， 有正实数根 (1)当方程有两个正实根时， a 应满足Error!， 解得：10， 1 2 所以 f(x)在区间
11、(1,0)上存在零点 2A 3C 能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有 f(a)f(b) 1 时，函数 f(x)x24x3 与 g(x)log2x 的图象有 1 个交点，可得 函数 h(x)有 1 个零点，函数 h(x)共有 3 个零点 63 解析 函数 f(x)为 R 上的奇函数，因此 f(0)0，当 x0 时，f(x)2 006xlog2 006x 在区间 (0，)内存在一个零点，又 f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对 1 2 006 称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数在 R 上的零点的个数为 3. 7x11，所以 x11 解析 设
12、函数 yax(a0，且 a1)和函数 yxa，则函数 f(x)axxa(a0，且 a1) 有两个零点，就是函数 yax(a0，且 a1)与函数 yxa 有两个交点，由图象可知当 01 时，因为函数 yax(a1)的图象过点(0,1)， 而直线 yxa 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数 a 的取值范 围是 a1. 9证明 令 g(x)f(x)x.(2 分) g(0) ，g( )f( ) ， 1 4 1 2 1 2 1 2 1 8 g(0)g( )0 的否定是：对于区间1,1内的任意一个 x 都有 f(x)0.(4 分) 此时Error!，即Error!，解得： p
13、或 p3.(10 分) 3 2 二次函数 f(x)在区间1,1内至少存在一个实数 c，使 f(c)0 的实数 p 的取值范围是 32c2b，3a0,2b0，b2c2b， 3a3a2b2b. a0，30 时，a0， f(0)c0 且 f(1) 0， f(1) 0， a 2 函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点 综合得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点(10 分) (3)x1，x2是函数 f(x)的两个零点，则 x1，x2是方程 ax2bxc0 的两根 x1x2 ，x1x2 . b a c a 3 2 b a |x1x2| x1x224x1x2 b a24 3 2 b a .(12 分) b a222 3 ， b a 3 4 |x1x2|.(14 分) 2 57 4 版权所有：高考资源网()
