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1、第十一节导数的应用对应学生用书 P341函数的单调性与导数(1)函数 f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系：若 f(x)0，则 f(x)在这个区间上是增加的；若 f(x)0 或 f(x)0，解得 a2 或 a2 或 a1 时，f2(x)0，即函数 f2(x)在区间0,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增综合及 f1(0)f2(0)，可知函数 f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增类题通法导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f(x)；(2)确认 f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0 时为增函数；f(
2、x)0，当 x(ln 2，)时，g(x)0，x10 得，x ；a2a6由 F(x)0 时，在区间(，1)上的单调性.解：当 06 时，f(x)g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(，a2)(a2，a6)上单调递增(a6，1) 类题通法求函数的单调区间的“两个”方法(1)方法一：确定函数 yf(x)的定义域；求导数 yf(x)；解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式 f(x)0)，12f(x)x5 .6xx2x3x令 f(x)0，解得 x12，x23.当 03 时，f(x)0，故 f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当 20 时，f(x)的单调递减区间是(3m
3、，m)，若 f(x)在区间(2,3)上是减函数，则Error!Error!解得 m3.当 m0，求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)x2axb，由题意得Error!Error!即Error!Error!(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当 x(，0)时，f(x)0，当 x(0，a)时，f(x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)，使不等式 g(x)x2ax20，得
4、 ex10，即 x0.2若 f(x)，ef(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1解析：选 A f(x)，当 xe 时，f(x)f(b)3若函数 f(x)x3x2mx1 是 R 上的单调增函数，则 m 的取值范围是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在 R 上是单调增函数，412 m0，即 m .13答案：13，)4.已知函数 f(x)x3ax2xc，且 af.创新题(23)(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)(f(x)x3)ex，若函数 g(x)在 x3，2上单调递增，求实数 c 的取值范围解：(1)由 f(x)x3ax2xc
5、，得 f(x)3x22ax1.当 x 时，得 af322a1，23(23)(23)(23)解之，得 a1.(2)由(1)可知 f(x)x3x2xc.则 f(x)3x22x13(x1)，(x13)列表如下：x(，13)13(13，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以 f(x)的单调递增区间是和(1，)；(，13)f(x)的单调递减区间是.(13，1)(3)函数 g(x)(f(x)x3)ex(x2xc)ex有 g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex，因为函数 g(x)在 x3,2上单调递增，所以 h(x)x23xc10 在 x3,2上恒成立只要 h(2)0，解得
6、c11，所以 c 的取值范围是11，)课下提升考能第卷：夯基保分卷1函数 f(x)xeln x 的单调递增区间为( )A(0，) B(，0)C(，0)和(0，) DR解析：选 A 函数定义域为(0，)，f(x)1 0，故单调增区间是(0，)ex2函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是( )A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：选 D f(x)(x3)ex，f(x)ex(x2)0，x2.f(x)的单调递增区间为(2，)3函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x)f(2x)，且当 x(，1)时，(x1)f(x)0，f(x)为增函数；又 f(3)f(1)，且10，所以 f(
7、x)在(0,2)上单调递增答案：单调递增6(2014河南省三市调研)若函数 f(x) x3 x2ax4 恰在1,4上单调递减，则实1332数 a 的值为_解析：f(x) x3 x2ax4，f(x)x23xa，又函数 f(x)恰在1,4上单调递1332减，1,4 是 f(x)0 的两根，a(1)44.答案：47(2014武汉武昌区联考)已知函数 f(x)(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲ln xkex线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间解：(1)由题意得 f(x)，1xln xkex又 f(1)0，故 k1.1ke(2)由(
8、1)知，f(x).1xln x1ex设 h(x) ln x1(x0)，则 h(x) 0，从而 f(x)0；当 x1 时，h(x)0x0 或 x1)，e 是自然对数的底数(1)试判断函数 f(x)在区间(0，)上的单调性；(2)当 ae，b4 时，求整数 k 的值，使得函数 f(x)在区间(k，k1)上存在零点解：(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.a1，当 x(0，)时，ln a0，ax10，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增(2)f(x)exx2x4，f(x)ex2x1，f(0)0，当 x0 时，ex1，f(x)0，f(x)是(0，)上的增函数；同理，f
9、(x)是(，0)上的减函数又 f(0)30，当 x2 时，f(x)0，当 x0 时，函数 f(x)的零点在(1,2)内，k1 满足条件；f(0)30，1e2当 x0，当 x0，f(x)在(0，)上单调递增当 m0，f(x)在上单调递增；(0， 12m)(0， 12m)当 x时，f(x)b0，则 kAB1 恒成立，fafbab即 f(a)f(b)ab 恒成立，即 f(a)af(b)b 恒成立，令 g(x)f(x)xln xmx2x，则 g(x)在(0，)上为增函数，所以 g(x) 2mx10 对 x(0，)恒成立，1x2mx2x1x所以 2mx2x10 对 x(0，)恒成立，即 2m 2 对 x
10、(0，)恒成立，1x21x(1x12)14因此 m .18故实数 m 的取值范围为.18，)第二课时 导数与函数极值、最值对应学生用书 P37考点一运用导数解决函数的极值问题典例 (2013福建高考节选)已知函数 f(x)x1(aR，e 为自然对数的底数)aex(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值解 (1)由 f(x)x1，得 f(x)1.aexaex又曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，得 f(1)0，即 1 0，解得 ae.ae(2)f(x)1，aex当 a0 时，f(x)0，f(x)为(，)上的
11、增函数，所以函数 f(x)无极值当 a0 时，令 f(x)0，得 exa，即 xln a.x(，ln a)，f(x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a 0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值若把本例中 f(x)变为“f(x)xaln x(aR)” ，试求函数的极值.解：由 f(x)1 ，x0 知：axxax(1)当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；(
12、2)当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa.又当 x(0，a)时，f(x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值类题通法求函数 f(x)极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)解方程 f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验 f(x)在 f(x)0 的根 x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0处取极小值针对训练设 f(x)2x3
13、ax2bx1 的导数为 f(x)，若函数 yf(x)的图像关于直线 x 对12称，且 f(1)0.(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的极值解：(1)因为 f(x)2x3ax2bx1，故 f(x)6x22axb，从而 f(x)62b，(xa6)a26即 yf(x)关于直线 x 对称a6从而由题设条件知 ，即 a3.a612又由于 f(1)0，即 62ab0，得 b12.(2)由(1)知 f(x)2x33x212x1，所以 f(x)6x26x126(x1)(x2)，令 f(x)0，即 6(x1)(x2)0，解得 x2 或 x1，当 x(，2)时，f(x)0，即 f(x)在(，2)上
14、单调递增；当 x(2,1)时，f(x)0，即 f(x)在(1，)上单调递增从而函数 f(x)在 x2 处取得极大值 f(2)21，在 x1 处取得极小值 f(1)6.考点二运用导数解决函数的最值问题典例 已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值解 (1)f(x)(xk1)ex.令 f(x)0，得 xk1.f(x)与 f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k；当 00)，若函数 f(x
